➡️ 向量計算機
在 2D 或 3D 空間執行向量加法、減法、點積、叉積、長度與夾角計算，附平行四邊形示意圖。
2D 模式下第三個分量視為零。
這是什麼工具？
向量是同時具有大小（長度）與方向的數學物件。與只有大小的普通數字不同，向量攜帶指向資訊——因此在物理中描述速度、力與加速度，在電腦圖學中描述位置與方向，都是不可或缺的工具。
這款計算機在 2D 與 3D 空間中處理核心向量運算。輸入兩個向量的分量，它即計算總和、差、點積、叉積（僅 3D）、各向量長度與兩者夾角。每個結果一次點擊即得，並附上向量如何組合的視覺圖解。
工具還會輸出物理學生常用的衍生量：各方向的單位向量、一向量在另一向量上的投影，以及夾角餘弦（即點積除以長度乘積）。所有計算都在瀏覽器本機完成——不上傳、免帳號、即時結果。
運作原理
向量運算遵循逐分量規則。對兩個向量 a = (a₁, a₂, a₃) 與 b = (b₁, b₂, b₃)，加法為 (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)，減法為 (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃)。點積為 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃，是一個衡量兩向量同向程度的純量。叉積（僅 3D）為 (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)，是同時垂直於兩輸入向量的向量。
向量長度為分量平方和開根號：|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。兩向量夾角 θ 由 cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|) 導出，即 θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|))。
衍生指標包括單位向量（各分量除以長度）與 a 在 b 上的純量投影（點積除以 |b|），後者告訴你 a 沿 b 方向延伸多遠。這些是物理作業與工程計算中最常需要的值，工具自動為你算好。向量加法示意圖
首尾相連加法：和 a + b 是平行四邊形的對角線。
向量運算公式速查
本計算機使用的核心公式，向量 a = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃)。
| 運算 | 公式 | 結果類型 |
|---|---|---|
| 加法 | a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) | 向量 |
| 減法 | a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃) | 向量 |
| 點積 | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | 純量 |
| 叉積 | a × b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁) | 向量（3D） |
| 長度 | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) | 純量 |
| 夾角 | θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)) | 度 |
常見物理向量量
日常生活中以向量表示的物理量。
| 物理量 | 類型 | 典型單位 |
|---|---|---|
| 位移 | 向量 | 公尺（m） |
| 速度 | 向量 | m/s |
| 加速度 | 向量 | m/s² |
| 力 | 向量 | 牛頓（N） |
| 動量 | 向量 | kg·m/s |
| 速率 | 純量 | m/s |
| 能量 | 純量 | 焦耳（J） |
| 質量 | 純量 | kg |
使用方法
- 選擇 2D 或 3D 模式。
- 輸入向量 a 的分量。
- 輸入向量 b 的分量。
- 按下「計算」一次取得所有結果。
- 閱讀總和、差、點積、叉積、長度與夾角。
常見問題
點積與叉積有什麼差別？
點積接收兩個向量並回傳純量（單一數字），衡量兩向量的對齊程度。叉積接收兩個 3D 向量並回傳同時垂直於兩者的另一個向量。兩者是完全不同的運算，幾何意義也不同。
為什麼叉積只在 3D 可用？
叉積只對三維向量有定義。2D 中沒有第三個維度讓結果指向，因此該運算不適用。2D 問題請改用點積與夾角。
點積為零代表什麼？
點積為零表示兩向量垂直（互成 90°）。這是無需計算角度就能判斷垂直的最快方法。
兩向量夾角如何計算？
使用公式 cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|)，即 θ 為該比值的 arccos。工具同時輸出餘弦值與角度（度），方便使用。
什麼是單位向量？
單位向量長度恰好為 1，方向與原向量相同，由各分量除以向量長度而得。單位向量用於獨立於長度地描述方向。
可以使用負分量嗎？
可以。負分量完全有效，只是代表向量沿該軸指向相反方向。工具在每種運算中都能正確處理。
技巧與建議
處理 2D 問題時，將第三個分量設為零即可——工具仍能正確計算。記得點積是純量、叉積是向量，兩者回答的問題不同。兩向量夾角為 0° 表示同向，180° 表示反向，90° 表示垂直。點積為零是判斷垂直的最快方法——完全不需要算角度。物理中處理力時，務必讓所有分量使用相同單位。投影值回答的是「a 沿 b 方向延伸多少」，這與「b 沿 a 方向延伸多少」不同——先確認題目問的是哪個方向。
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來源與參考
- Wolfram MathWorld. 向量加法。mathworld.wolfram.com。
- Khan Academy. 向量與空間。khanacademy.org。
最後審閱：2026 年 8 月。
限制與免責聲明
本工具執行標準向量運算，用途為教育與工程參考。結果四捨五入至小數後六位。
本工具未涵蓋的因素：
- 浮點精度：極大或極小的分量可能出現微小的捨入誤差。
- 單位：工具以純數字運作，輸入前請確認所有分量使用相同單位。
- 更高維度：僅支援 2D 與 3D 向量，4D 以上不在範圍內。
當精度重要時，請以獨立計算驗證關鍵結果。