➡️ Calcolatore di vettori
Esegui somma e differenza di vettori, prodotto scalare, prodotto vettoriale, calcolo del modulo e dell’angolo in 2D o 3D, con diagramma visivo del parallelogramma.
In modalità 2D la terza componente viene considerata zero.
Che cos’è questo strumento?
Un vettore è un oggetto matematico dotato sia di modulo (lunghezza) sia di direzione. A differenza dei numeri semplici, che hanno solo una grandezza, i vettori trasportano l’informazione verso cui puntano: per questo sono essenziali in fisica per descrivere velocità, forze e accelerazioni, e nella grafica computerizzata per posizioni e direzioni.
Questa calcolatrice gestisce le operazioni vettoriali fondamentali sia in 2D sia in 3D. Inserisci le componenti di due vettori e calcola somma, differenza, prodotto scalare, prodotto vettoriale (solo in 3D), il modulo di ciascun vettore e l’angolo tra loro. Ogni risultato si ottiene con un solo clic, accompagnato da un diagramma visivo che mostra come i vettori si combinano.
Lo strumento riporta anche le grandezze derivate di cui gli studenti di fisica hanno bisogno più spesso: il versore in ciascuna direzione, la proiezione di un vettore sull’altro e il coseno dell’angolo (ovvero il prodotto scalare diviso per il prodotto dei moduli). Tutto viene elaborato localmente nel tuo browser: nessun caricamento, nessun account, risultati immediati.
Per calcoli correlati, prova la calcolatrice di matrici, la calcolatrice del teorema di Pitagora e la calcolatrice di trigonometria per esplorare altri strumenti utili.
Come funziona
Le operazioni sui vettori seguono regole componente per componente. Per due vettori a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃), la somma è (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) e la differenza è (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃). Il prodotto scalare è a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, uno scalare che misura quanto due vettori puntano nella stessa direzione. Il prodotto vettoriale (solo in 3D) è (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁), un vettore perpendicolare a entrambi i vettori di partenza.
Il modulo di un vettore è la radice quadrata della somma delle sue componenti al quadrato: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). L’angolo θ tra due vettori si ricava dalla relazione cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|), da cui si ottiene θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)).
Le metriche derivate includono il versore (ciascuna componente divisa per il modulo) e la proiezione scalare di a su b (il prodotto scalare diviso per |b|), che indica di quanto a si estende nella direzione di b. Sono i valori più richiesti nei compiti di fisica e nei calcoli di ingegneria, quindi lo strumento li calcola automaticamente.
Diagramma della somma di vettori
Somma punta-coda: la somma a + b è la diagonale del parallelogramma.
Riferimento alle formule delle operazioni vettoriali
Formule fondamentali usate da questa calcolatrice, per i vettori a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃).
| Operazione | Formula | Tipo di risultato |
|---|---|---|
| Somma | a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) | Vettore |
| Differenza | a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃) | Vettore |
| Prodotto scalare | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | Scalare |
| Prodotto vettoriale | a × b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁) | Vettore (3D) |
| Modulo | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) | Scalare |
| Angolo | θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)) | Gradi |
Grandezze fisiche vettoriali comuni
Grandezze fisiche quotidiane rappresentate come vettori.
| Grandezza | Tipo | Unità tipica |
|---|---|---|
| Spostamento | Vettore | metri (m) |
| Velocità | Vettore | m/s |
| Accelerazione | Vettore | m/s² |
| Forza | Vettore | newton (N) |
| Quantità di moto | Vettore | kg·m/s |
| Velocità scalare | Scalare | m/s |
| Energia | Scalare | joule (J) |
| Massa | Scalare | kg |
Come usare
- Scegli la modalità 2D o 3D.
- Inserisci le componenti del vettore a.
- Inserisci le componenti del vettore b.
- Premi Calcola per vedere tutti i risultati in una volta.
- Leggi somma, differenza, prodotto scalare, prodotto vettoriale, moduli e angolo.
Domande Frequenti
Qual è la differenza tra prodotto scalare e prodotto vettoriale?
Il prodotto scalare prende due vettori e restituisce uno scalare (un singolo numero) che misura quanto sono allineati. Il prodotto vettoriale prende due vettori 3D e restituisce un altro vettore perpendicolare a entrambi. Sono operazioni diverse, con significati geometrici diversi.
Perché il prodotto vettoriale è disponibile solo in 3D?
Il prodotto vettoriale è definito solo per vettori tridimensionali. In 2D non esiste una terza dimensione su cui far puntare il risultato, quindi l’operazione non si applica. Per i problemi in 2D usa invece il prodotto scalare e l’angolo.
Cosa significa un prodotto scalare nullo?
Un prodotto scalare pari a zero indica che i due vettori sono perpendicolari (a 90° l’uno rispetto all’altro). È il modo più rapido per verificare la perpendicolarità senza calcolare alcun angolo.
Come si calcola l’angolo tra due vettori?
Con la formula cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|), quindi θ = arccos di tale rapporto. Per comodità lo strumento calcola sia il coseno sia l’angolo in gradi.
Che cos’è un versore?
Un versore ha modulo esattamente pari a 1 e punta nella stessa direzione del vettore originale. Si ottiene dividendo ciascuna componente per il modulo del vettore. I versori si usano per descrivere la direzione indipendentemente dalla lunghezza.
Posso usare componenti negative?
Sì. Le componenti negative sono del tutto valide e indicano semplicemente che il vettore punta nella direzione opposta lungo quell’asse. Lo strumento le gestisce in ogni operazione.
Consigli
Per i problemi in 2D, imposta la terza componente a zero: lo strumento esegue comunque il calcolo in modo corretto. Ricorda che il prodotto scalare è uno scalare e il prodotto vettoriale è un vettore; rispondono a domande diverse. Se l’angolo tra due vettori risulta 0°, puntano nella stessa direzione; 180° indica direzioni opposte; 90° indica che sono perpendicolari. Un prodotto scalare nullo è un test rapido di perpendicolarità, senza bisogno di calcolare alcun angolo. Quando lavori con le forze in fisica, usa sempre la stessa unità per tutte le componenti. Il valore della proiezione risponde a “quanto di a punta lungo b”, che è diverso da “quanto di b punta lungo a”: verifica quale direzione chiede il problema.
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Fonti e Riferimenti
- Wolfram MathWorld. Vector Addition. mathworld.wolfram.com.
- Khan Academy. Vectors and Spaces. khanacademy.org.
Ultimo aggiornamento: agosto 2026.
Limitazioni
Questo strumento esegue l’aritmetica vettoriale standard a scopo didattico e ingegneristico. I risultati sono arrotondati a sei cifre decimali.
Cosa questo strumento non tiene in considerazione:
- Precisione in virgola mobile: componenti molto grandi o molto piccole possono mostrare lievi artefatti di arrotondamento.
- Unità di misura: lo strumento lavora con numeri puri; assicurati che tutte le componenti usino la stessa unità prima di inserirle.
- Dimensioni superiori: sono supportati solo i vettori 2D e 3D; quattro dimensioni e oltre non rientrano nell’ambito.
Verifica i risultati critici con un calcolo indipendente quando la precisione è importante.