➡️ 벡터 계산기
2D·3D 공간에서 벡터 덧셈·뺄셈·내적·외적·길이·사잇각을 계산합니다. 평행사변형 도해 포함.
2D 모드에서는 세 번째 성분이 0으로 처리됩니다.
이 도구란 무엇인가요?
벡터는 크기(길이)와 방향을 모두 가진 수학적 대상입니다. 크기만 있는 일반 숫자와 달리 벡터는 어디를 향하는지에 대한 정보를 담습니다——물리에서 속도·힘·가속도를 설명하는 데 필수적이며, 컴퓨터 그래픽에서는 위치와 방향을 나타냅니다.
이 계산기는 2D와 3D 공간에서 핵심 벡터 연산을 처리합니다. 두 벡터의 성분을 입력하면 합·차·내적·외적(3D만)·각 벡터의 길이·두 벡터 사이의 각도를 계산합니다. 각 결과는 한 번의 클릭으로 얻어지며, 벡터가 어떻게 결합되는지 보여주는 시각적 도해도 함께 표시됩니다.
도구는 물리학 학생들이 자주 필요로 하는 파생량도 출력합니다: 각 방향의 단위 벡터, 한 벡터의 다른 벡터에 대한 투영, 사잇각의 코사인(내적을 길이의 곱으로 나눈 값)입니다. 모든 것은 브라우저에서 로컬로 실행됩니다——업로드도 계정도 없이 즉시 결과를 얻습니다.
관련 계산이 필요하면 이 도구들도 사용해 보세요: 행렬 계산기, 피타고라스 정리 계산기, 삼각함수 계산기 를 참고하세요.
작동 방식
벡터 연산은 성분별 규칙을 따릅니다. 두 벡터 a = (a₁, a₂, a₃)와 b = (b₁, b₂, b₃)에 대해 덧셈은 (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃), 뺄셈은 (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃)입니다. 내적은 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃으로, 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하는지 측정하는 스칼라입니다. 외적(3D만)은 (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)으로, 두 입력에 모두 수직인 벡터입니다.
벡터의 길이는 성분 제곱합의 제곱근입니다: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). 두 벡터 사이의 각도 θ는 cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|) 관계에서, θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|))로 유도됩니다.
파생 지표에는 단위 벡터(각 성분을 길이로 나눔)와 b 방향에 대한 a의 스칼라 투영(내적을 |b|로 나눔)이 있습니다. 후자는 a가 b 방향으로 얼마나 뻗어 있는지 알려줍니다. 이것들은 물리 숙제와 공학 계산에서 가장 자주 필요한 값이므로 도구가 자동으로 계산합니다.벡터 덧셈 도해
머리-꼬리 덧셈: 합 a + b는 평행사변형의 대각선입니다.
벡터 연산 공식 참고표
이 계산기가 사용하는 핵심 공식. 벡터 a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃).
| 연산 | 공식 | 결과 유형 |
|---|---|---|
| 덧셈 | a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) | 벡터 |
| 뺄셈 | a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃) | 벡터 |
| 내적 | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | 스칼라 |
| 외적 | a × b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁) | 벡터(3D) |
| 길이 | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) | 스칼라 |
| 사잇각 | θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)) | 도 |
일상의 물리 벡터량
일상적으로 벡터로 표현되는 물리량.
| 물리량 | 유형 | 대표 단위 |
|---|---|---|
| 변위 | 벡터 | 미터 (m) |
| 속도 | 벡터 | m/s |
| 가속도 | 벡터 | m/s² |
| 힘 | 벡터 | 뉴턴 (N) |
| 운동량 | 벡터 | kg·m/s |
| 속력 | 스칼라 | m/s |
| 에너지 | 스칼라 | 줄 (J) |
| 질량 | 스칼라 | kg |
사용 방법
- 2D 또는 3D 모드를 선택합니다.
- 벡터 a의 성분을 입력합니다.
- 벡터 b의 성분을 입력합니다.
- 계산 버튼을 누르면 모든 결과가 한 번에 표시됩니다.
- 합·차·내적·외적·길이·사잇각을 확인합니다.
자주 묻는 질문
내적과 외적의 차이는 무엇인가요?
내적은 두 벡터를 받아 얼마나 정렬되어 있는지 측정하는 스칼라(하나의 숫자)를 반환합니다. 외적은 두 3D 벡터를 받아 둘 다에 수직인 또 다른 벡터를 반환합니다. 기하학적 의미가 다른 별개의 연산입니다.
왜 외적은 3D에서만 가능한가요?
외적은 3차원 벡터에 대해서만 정의됩니다. 2D에는 결과가 가리킬 세 번째 차원이 없으므로 이 연산은 적용되지 않습니다. 2D 문제에서는 내적과 사잇각을 사용하세요.
내적이 0이면 무엇을 의미하나요?
내적이 0이면 두 벡터가 수직(서로 90°)이라는 뜻입니다. 각도를 계산하지 않고 수직을 판정하는 가장 빠른 방법입니다.
두 벡터 사이의 각도는 어떻게 계산하나요?
공식 cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|)를 사용하며, θ는 그 비율의 arccos입니다. 도구는 편의상 코사인과 각도(도)를 모두 계산합니다.
단위 벡터란 무엇인가요?
단위 벡터는 크기가 정확히 1이고 원래 벡터와 같은 방향을 가리키는 벡터입니다. 각 성분을 벡터의 길이로 나누어 얻습니다. 길이와 무관하게 방향을 나타내는 데 사용합니다.
음수 성분을 사용할 수 있나요?
네. 음수 성분은 완전히 유효하며, 그 축을 따라 반대 방향을 가리킨다는 뜻일 뿐입니다. 도구는 모든 연산에서 올바르게 처리합니다.
팁과 조언
2D 문제에서는 세 번째 성분을 0으로 두세요——도구가 여전히 정확히 계산합니다. 내적은 스칼라, 외적은 벡터임을 기억하세요. 둘은 다른 질문에 답합니다. 두 벡터의 사잇각이 0°이면 같은 방향, 180°이면 반대 방향, 90°이면 수직입니다. 내적이 0이면 수직 판정은 순식간입니다——각도를 계산할 필요가 없습니다. 물리에서 힘을 다룰 때는 모든 성분이 같은 단위를 쓰도록 하세요. 투영 값이 답하는 것은 'a가 b 방향으로 얼마나 뻗었는가'이며, 'b가 a 방향으로 얼마나 뻗었는가'와는 다릅니다——문제가 어느 방향을 묻는지 확인하세요.
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출처 및 참고 자료
- Wolfram MathWorld. 벡터 덧셈.mathworld.wolfram.com.
- Khan Academy. 벡터와 공간.khanacademy.org.
최종 검토: 2026년 8월.
제한 사항
이 도구는 교육 및 공학 목적으로 표준 벡터 연산을 수행합니다. 결과는 소수 6자리로 반올림됩니다.
이 도구가 고려하지 않는 사항:
- 부동소수점 정밀도: 매우 크거나 작은 성분에서는 작은 반올림 오차가 나타날 수 있습니다.
- 단위: 도구는 순수 숫자로 작동합니다. 입력 전에 모든 성분이 같은 단위인지 확인하세요.
- 고차원: 2D와 3D 벡터만 지원합니다. 4D 이상은 범위 밖입니다.
정밀도가 중요할 때는 독립적인 계산으로 중요한 결과를 검증하세요.