➡️ 向量计算器
在 2D 或 3D 空间执行向量加法、减法、点积、叉积、长度与夹角计算，附平行四边形示意图。
2D 模式下第三个分量视为零。
这是什么工具？
向量是同时具有大小（长度）与方向的数学对象。与只有大小的普通数字不同，向量携带指向信息——因此在物理中描述速度、力与加速度，在计算机图形学中描述位置与方向，都是不可或缺的工具。
这款计算器在 2D 与 3D 空间中处理核心向量运算。输入两个向量的分量，它即计算总和、差、点积、叉积（仅 3D）、各向量长度与两者夹角。每个结果一次点击即得，并附上向量如何组合的可视化图解。
工具还会输出物理学生常用的衍生量：各方向的单位向量、一向量在另一向量上的投影，以及夹角余弦（即点积除以长度乘积）。所有计算都在浏览器本地完成——不上传、免账号、即时结果。
运作原理
向量运算遵循逐分量规则。对两个向量 a = (a₁, a₂, a₃) 与 b = (b₁, b₂, b₃)，加法为 (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)，减法为 (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃)。点积为 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃，是一个衡量两向量同向程度的标量。叉积（仅 3D）为 (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)，是同时垂直于两输入向量的向量。
向量长度为分量平方和开根号：|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。两向量夹角 θ 由 cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|) 导出，即 θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|))。
衍生指标包括单位向量（各分量除以长度）与 a 在 b 上的标量投影（点积除以 |b|），后者告诉你 a 沿 b 方向延伸多远。这些是物理作业与工程计算中最常需要的值，工具自动为你算好。向量加法示意图
首尾相连加法：和 a + b 是平行四边形的对角线。
向量运算公式速查
本计算器使用的核心公式，向量 a = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃)。
| 运算 | 公式 | 结果类型 |
|---|---|---|
| 加法 | a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) | 向量 |
| 减法 | a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃) | 向量 |
| 点积 | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | 标量 |
| 叉积 | a × b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁) | 向量（3D） |
| 长度 | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) | 标量 |
| 夹角 | θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)) | 度 |
常见物理向量量
日常生活中以向量表示的物理量。
| 物理量 | 类型 | 典型单位 |
|---|---|---|
| 位移 | 向量 | 米（m） |
| 速度 | 向量 | m/s |
| 加速度 | 向量 | m/s² |
| 力 | 向量 | 牛顿（N） |
| 动量 | 向量 | kg·m/s |
| 速率 | 标量 | m/s |
| 能量 | 标量 | 焦耳（J） |
| 质量 | 标量 | kg |
使用方法
- 选择 2D 或 3D 模式。
- 输入向量 a 的分量。
- 输入向量 b 的分量。
- 点击“计算”一次获得所有结果。
- 阅读总和、差、点积、叉积、长度与夹角。
常见问题
点积与叉积有什么区别？
点积接收两个向量并返回标量（单个数字），衡量两向量的对齐程度。叉积接收两个 3D 向量并返回同时垂直于两者的另一个向量。两者是完全不同的运算，几何意义也不同。
为什么叉积只在 3D 可用？
叉积只对三维向量有定义。2D 中没有第三个维度让结果指向，因此该运算不适用。2D 问题请改用点积与夹角。
点积为零代表什么？
点积为零表示两向量垂直（互成 90°）。这是无需计算角度就能判断垂直的最快方法。
两向量夹角如何计算？
使用公式 cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|)，即 θ 为该比值的 arccos。工具同时输出余弦值与角度（度），方便使用。
什么是单位向量？
单位向量长度恰好为 1，方向与原向量相同，由各分量除以向量长度而得。单位向量用于独立于长度地描述方向。
可以使用负分量吗？
可以。负分量完全有效，只是代表向量沿该轴指向相反方向。工具在每种运算中都能正确处理。
技巧与建议
处理 2D 问题时，将第三个分量设为零即可——工具仍能正确计算。记得点积是标量、叉积是向量，两者回答的问题不同。两向量夹角为 0° 表示同向，180° 表示反向，90° 表示垂直。点积为零是判断垂直的最快方法——完全不需要算角度。物理中处理力时，务必让所有分量使用相同单位。投影值回答的是“a 沿 b 方向延伸多少”，这与“b 沿 a 方向延伸多少”不同——先确认题目问的是哪个方向。
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来源与参考
- Wolfram MathWorld. 向量加法。mathworld.wolfram.com。
- Khan Academy. 向量与空间。khanacademy.org。
最后审阅：2026 年 8 月。
限制与免责声明
本工具执行标准向量运算，用途为教育与工程参考。结果四舍五入至小数点后六位。
本工具未涵盖的因素：
- 浮点精度：极大或极小的分量可能出现微小的舍入误差。
- 单位：工具以纯数字运作，输入前请确认所有分量使用相同单位。
- 更高维度：仅支持 2D 与 3D 向量，4D 以上不在范围内。
当精度重要时，请以独立计算验证关键结果。