➡️ Calculateur de Vecteurs
Effectuez addition, soustraction, produit scalaire, produit vectoriel, norme et calcul d''angle en 2D ou 3D, avec un diagramme visuel de parallélogramme.
En mode 2D, la troisième composante est traitée comme zéro.
Qu'est-ce que cet outil ?
Un vecteur est un objet mathématique possédant à la fois une norme (longueur) et une direction. Contrairement aux nombres simples, qui n''ont que la taille, les vecteurs portent l''information sur leur orientation —ce qui les rend essentiels en physique pour décrire vitesse, force et accélération, et en infographie pour les positions et directions.
Cette calculatrice gère les opérations vectorielles centrales en 2D comme en 3D. Vous entrez les composantes de deux vecteurs et elle calcule la somme, la différence, le produit scalaire, le produit vectoriel (3D uniquement), la norme de chaque vecteur et l''angle entre eux. Chaque résultat s''obtient en un clic, avec un diagramme visuel montrant comment les vecteurs se combinent.
L''outil fournit aussi des quantités dérivées souvent nécessaires aux étudiants en physique : le vecteur unitaire dans chaque direction, la projection d''un vecteur sur un autre et le cosinus de l''angle (qui est le produit scalaire divisé par le produit des normes). Tout s''exécute localement dans votre navigateur —pas d''envoi, pas de compte, résultats instantanés.
Pour des calculs associés, essayez la calculatrice de matrices, calculatrice du théorème de Pythagore, calculatrice de trigonométrie pour découvrir d’autres outils utiles.
Comment ça marche
Les opérations vectorielles suivent des règles composante par composante. Pour deux vecteurs a = (a₁, a₂, a₃) et b = (b₁, b₂, b₃), l''addition est (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) et la soustraction (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃). Le produit scalaire est a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, un scalaire qui mesure à quel point deux vecteurs pointent dans la même direction. Le produit vectoriel (3D uniquement) est (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁), un vecteur perpendiculaire aux deux entrées.
La norme d''un vecteur est la racine carrée de la somme de ses composantes au carré : |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). L''angle θ entre deux vecteurs provient de la relation cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|), qui se réorganise en θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)).
Les métriques dérivées incluent le vecteur unitaire (chaque composante divisée par la norme) et la projection scalaire de a sur b (le produit scalaire divisé par |b|), qui indique jusqu''où a s''étend dans la direction de b. Ce sont les valeurs les plus souvent nécessaires dans les devoirs de physique et les calculs d''ingénierie, donc l''outil les calcule automatiquement.Schéma dAddition de Vecteurs
Addition bout-à-bout : la somme a + b est la diagonale du parallélogramme.
Référence des Formules d''Opérations Vectorielles
Formules centrales utilisées par cette calculatrice, pour les vecteurs a = (a₁, a₂, a₃) et b = (b₁, b₂, b₃).
| Opération | Formule | Type de résultat |
|---|---|---|
| Addition | a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) | Vecteur |
| Soustraction | a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃) | Vecteur |
| Produit scalaire | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | Scalaire |
| Produit vectoriel | a × b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁) | Vecteur (3D) |
| Norme | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) | Scalaire |
| Angle | θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)) | Degrés |
Grandeurs Physiques Vectorielles Courantes
Grandeurs physiques du quotidien représentées comme des vecteurs.
| Grandeur | Type | Unité typique |
|---|---|---|
| Déplacement | Vecteur | mètres (m) |
| Vitesse | Vecteur | m/s |
| Accélération | Vecteur | m/s² |
| Force | Vecteur | newtons (N) |
| Quantité de mouvement | Vecteur | kg·m/s |
| Vitesse scalaire | Scalaire | m/s |
| Énergie | Scalaire | joules (J) |
| Masse | Scalaire | kg |
Comment utiliser
- Choisissez le mode 2D ou 3D.
- Entrez les composantes du vecteur a.
- Entrez les composantes du vecteur b.
- Cliquez sur Calculer pour voir tous les résultats à la fois.
- Lisez la somme, la différence, le produit scalaire, le produit vectoriel, les normes et l''angle.
Questions Fréquentes
Quelle est la différence entre produit scalaire et produit vectoriel ?
Le produit scalaire prend deux vecteurs et renvoie un scalaire (un seul nombre) mesurant leur alignement. Le produit vectoriel prend deux vecteurs 3D et renvoie un autre vecteur perpendiculaire aux deux. Ce sont des opérations différentes avec des significations géométriques différentes.
Pourquoi le produit vectoriel n''est-il disponible qu''en 3D ?
Le produit vectoriel n''est défini que pour les vecteurs tridimensionnels. En 2D, il n''y a pas de troisième dimension vers laquelle le résultat puisse pointer, donc l''opération ne s''applique pas. Pour les problèmes 2D, utilisez le produit scalaire et l''angle.
Que signifie un produit scalaire nul ?
Un produit scalaire nul signifie que les deux vecteurs sont perpendiculaires (à 90° l''un de l''autre). C''est le moyen le plus rapide de vérifier la perpendicularité sans calculer d''angles.
Comment l''angle entre deux vecteurs est-il calculé ?
Avec la formule cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|), donc θ est l''arccos de ce rapport. L''outil calcule à la fois le cosinus et l''angle en degrés pour plus de commodité.
Qu''est-ce qu''un vecteur unitaire ?
Un vecteur unitaire a une norme d''exactement 1 et pointe dans la même direction que le vecteur original. On l''obtient en divisant chaque composante par la norme du vecteur. Ils servent à décrire une direction indépendamment de la longueur.
Puis-je utiliser des composantes négatives ?
Oui. Les composantes négatives sont parfaitement valides et signifient simplement que le vecteur pointe dans la direction opposée le long de cet axe. L''outil les gère dans toutes les opérations.
Conseils
Pour les problèmes 2D, mettez la troisième composante à zéro —l''outil calcule quand même correctement. Rappelez-vous que le produit scalaire est un scalaire et le produit vectoriel un vecteur ; ils répondent à des questions différentes. Si l''angle entre deux vecteurs donne 0°, ils pointent dans la même direction ; 180° signifie des directions opposées ; 90° signifie qu''ils sont perpendiculaires. Un produit scalaire nul est un test rapide de perpendicularité —aucun calcul d''angle nécessaire. En travaillant avec des forces en physique, gardez toujours la même unité pour toutes les composantes. La valeur de projection répond à « jusqu''où a s''étend le long de b », ce qui diffère de « jusqu''où b s''étend le long de a » —vérifiez quelle direction le problème demande.
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Sources et Références
- Wolfram MathWorld. Addition de vecteurs. mathworld.wolfram.com.
- Khan Academy. Vecteurs et espaces. khanacademy.org.
Dernière révision : août 2026.
Limites
Cet outil effectue de l'arithmétique vectorielle standard à des fins éducatives et d'ingénierie. Les résultats sont arrondis à six décimales.
Ce que cet outil ne prend pas en compte :
- Précision à virgule flottante : des composantes très grandes ou très petites peuvent montrer de petits artefacts d'arrondi.
- Unités : l'outil travaille avec des nombres purs ; vous devez vous assurer que toutes les composantes utilisent la même unité avant de les saisir.
- Dimensions supérieures : seuls les vecteurs 2D et 3D sont pris en charge ; la 4D et au-delà sont hors de portée.
Vérifiez les résultats critiques avec un calcul indépendant lorsque la précision compte.