➡️ Calculadora de Vetores
Realize soma, subtração, produto escalar, produto vetorial, módulo e cálculo de ângulo em 2D ou 3D, com um diagrama visual de paralelogramo.
No modo 2D, o terceiro componente é tratado como zero.
O que é esta ferramenta?
Um vetor é um objeto matemático que tem tanto magnitude (comprimento) quanto direção. Diferente dos números simples, que só têm tamanho, os vetores carregam informação sobre para onde apontam —tornando-os essenciais em física para descrever velocidade, força e aceleração, e em computação gráfica para posições e direções.
Esta calculadora lida com as operações vetoriais centrais tanto em 2D quanto em 3D. Você insere os componentes de dois vetores e ela calcula a soma, a diferença, o produto escalar, o produto vetorial (somente 3D), o módulo de cada vetor e o ângulo entre eles. Cada resultado vem de um único clique, com um diagrama visual mostrando como os vetores se combinam.
A ferramenta também informa quantidades derivadas que estudantes de física costumam precisar: o vetor unitário em cada direção, a projeção de um vetor sobre outro e o cosseno do ângulo (que é o produto escalar dividido pelo produto dos módulos). Tudo roda localmente no seu navegador —sem upload, sem conta, resultados instantâneos.
Para cálculos relacionados, experimente a calculadora de matrizes, calculadora do teorema de Pitágoras, calculadora de trigonometria para explorar mais ferramentas úteis.
Como funciona
As operações vetoriais seguem regras componente a componente. Para dois vetores a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃), a soma é (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) e a subtração (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃). O produto escalar é a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, um escalar que mede o quanto dois vetores apontam na mesma direção. O produto vetorial (somente 3D) é (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁), um vetor perpendicular a ambos.
O módulo de um vetor é a raiz quadrada da soma de seus componentes ao quadrado: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). O ângulo θ entre dois vetores vem da relação cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|), que se reorganiza como θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)).
As métricas derivadas incluem o vetor unitário (cada componente dividida pelo módulo) e a projeção escalar de a sobre b (o produto escalar dividido por |b|), que indica o quanto a se estende na direção de b. Esses são os valores mais necessários em deveres de física e cálculos de engenharia, então a ferramenta os calcula automaticamente.Diagrama de Soma de Vetores
Soma ponta-cauda: a soma a + b é a diagonal do paralelogramo.
Referência de Fórmulas de Operações Vetoriais
Fórmulas centrais usadas por esta calculadora, para vetores a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃).
| Operação | Fórmula | Tipo de resultado |
|---|---|---|
| Soma | a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) | Vetor |
| Subtração | a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃) | Vetor |
| Produto escalar | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | Escalar |
| Produto vetorial | a × b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁) | Vetor (3D) |
| Módulo | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) | Escalar |
| Ângulo | θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)) | Graus |
Grandezas Físicas Vetoriais Comuns
Grandezas físicas do cotidiano representadas como vetores.
| Grandeza | Tipo | Unidade típica |
|---|---|---|
| Deslocamento | Vetor | metros (m) |
| Velocidade | Vetor | m/s |
| Aceleração | Vetor | m/s² |
| Força | Vetor | newtons (N) |
| Quantidade de movimento | Vetor | kg·m/s |
| Rapidez | Escalar | m/s |
| Energia | Escalar | joules (J) |
| Massa | Escalar | kg |
Como usar
- Escolha o modo 2D ou 3D.
- Insira os componentes do vetor a.
- Insira os componentes do vetor b.
- Clique em Calcular para ver todos os resultados de uma vez.
- Leia a soma, subtração, produto escalar, produto vetorial, módulos e ângulo.
Perguntas Frequentes
Qual é a diferença entre produto escalar e produto vetorial?
O produto escalar recebe dois vetores e retorna um escalar (um único número) medindo o quanto estão alinhados. O produto vetorial recebe dois vetores 3D e retorna outro vetor perpendicular a ambos. São operações diferentes com significados geométricos diferentes.
Por que o produto vetorial só está disponível em 3D?
O produto vetorial só é definido para vetores tridimensionais. Em 2D não há uma terceira dimensão para onde o resultado apontar, então a operação não se aplica. Para problemas 2D, use o produto escalar e o ângulo.
O que significa um produto escalar zero?
Um produto escalar zero significa que os dois vetores são perpendiculares (a 90° entre si). É a forma mais rápida de verificar perpendicularidade sem calcular ângulos.
Como o ângulo entre dois vetores é calculado?
Usando a fórmula cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|), então θ é o arccos dessa razão. A ferramenta calcula tanto o cosseno quanto o ângulo em graus para conveniência.
O que é um vetor unitário?
Um vetor unitário tem módulo exatamente 1 e aponta na mesma direção do vetor original. Obtém-se dividindo cada componente pelo módulo do vetor. São usados para descrever direção independentemente do comprimento.
Posso usar componentes negativos?
Sim. Componentes negativos são perfeitamente válidos e apenas significam que o vetor aponta na direção oposta ao longo daquele eixo. A ferramenta os lida em todas as operações.
Dicas
Para problemas 2D, coloque o terceiro componente em zero —a ferramenta ainda calcula corretamente. Lembre-se de que o produto escalar é um escalar e o produto vetorial é um vetor; eles respondem perguntas diferentes. Se o ângulo entre dois vetores der 0°, eles apontam na mesma direção; 180° significa direções opostas; 90° significa que são perpendiculares. Um produto escalar zero é um teste rápido de perpendicularidade —sem necessidade de calcular ângulos. Ao trabalhar com forças em física, mantenha sempre a mesma unidade em todos os componentes. O valor da projeção responde a «quanto de a aponta ao longo de b», que é diferente de «quanto de b aponta ao longo de a» —verifique qual direção o problema pede.
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Fontes e Referências
- Wolfram MathWorld. Adição de vetores. mathworld.wolfram.com.
- Khan Academy. Vetores e espaços. khanacademy.org.
Última revisão: agosto de 2026.
Limitações
Esta ferramenta realiza aritmética vetorial padrão para fins educacionais e de engenharia. Os resultados são arredondados para seis casas decimais.
O que esta ferramenta não considera:
- Precisão de ponto flutuante: componentes muito grandes ou muito pequenos podem mostrar pequenos artefatos de arredondamento.
- Unidades: a ferramenta trabalha com números puros; você deve garantir que todos os componentes usem a mesma unidade antes de inseri-los.
- Dimensões superiores: apenas vetores 2D e 3D são suportados; 4D e além estão fora do escopo.
Verifique resultados críticos com um cálculo independente quando a precisão importar.