➡️ Vektor-Rechner
Führen Sie Vektoraddition, -subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag und Winkelberechnung in 2D oder 3D durch, mit visuellem Parallelogramm-Diagramm.
Im 2D-Modus wird die dritte Komponente als null behandelt.
Was ist dieses Werkzeug?
Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das sowohl Betrag (Länge) als auch Richtung besitzt. Anders als einfache Zahlen, die nur eine Größe haben, tragen Vektoren die Information, wohin sie zeigen — daher sind sie in der Physik unverzichtbar für Geschwindigkeit, Kraft und Beschleunigung und in der Computergrafik für Positionen und Richtungen.
Dieser Rechner behandelt die zentralen Vektoroperationen sowohl in 2D als auch in 3D. Sie geben die Komponenten zweier Vektoren ein, und er berechnet Summe, Differenz, Skalarprodukt, Kreuzprodukt (nur 3D), den Betrag jedes Vektors und den Winkel zwischen ihnen. Jedes Ergebnis entsteht mit einem Klick, mit einem visuellen Diagramm, das zeigt, wie sich die Vektoren kombinieren.
Das Werkzeug liefert auch abgeleitete Größen, die Physikstudenten häufig benötigen: den Einheitsvektor in jeder Richtung, die Projektion eines Vektors auf einen anderen und den Kosinus des Winkels (das Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Beträge). Alles läuft lokal in Ihrem Browser — kein Upload, kein Konto, sofortige Ergebnisse.
Für verwandte Berechnungen nutzen Sie den Matrix-Rechner, Satz-des-Pythagoras-Rechner, Trigonometrie-Rechner für weitere nützliche Werkzeuge.
Wie es funktioniert
Vektoroperationen folgen komponentenweisen Regeln. Für zwei Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) ist die Addition (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) und die Subtraktion (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃). Das Skalarprodukt ist a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, ein Skalar, der misst, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Das Kreuzprodukt (nur 3D) ist (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁), ein Vektor senkrecht zu beiden Eingaben.
Der Betrag eines Vektors ist die Quadratwurzel der Summe seiner quadrierten Komponenten: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Der Winkel θ zwischen zwei Vektoren ergibt sich aus der Beziehung cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|), umgestellt zu θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)).
Zu den abgeleiteten Größen gehören der Einheitsvektor (jede Komponente geteilt durch den Betrag) und die skalare Projektion von a auf b (das Skalarprodukt geteilt durch |b|), die angibt, wie weit a in Richtung von b reicht. Dies sind die Werte, die in Physik-Hausaufgaben und Ingenieurberechnungen am häufigsten gebraucht werden, daher berechnet sie das Werkzeug automatisch.Diagramm der Vektoraddition
Addition Spitze-zu-Schwanz: Die Summe a + b ist die Diagonale des Parallelogramms.
Formelreferenz der Vektoroperationen
Zentrale Formeln dieses Rechners für Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃).
| Operation | Formel | Ergebnistyp |
|---|---|---|
| Addition | a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) | Vektor |
| Subtraktion | a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃) | Vektor |
| Skalarprodukt | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | Skalar |
| Kreuzprodukt | a × b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁) | Vektor (3D) |
| Betrag | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) | Skalar |
| Winkel | θ = arccos((a·b) ÷ (|a||b|)) | Grad |
Häufige physikalische Vektorgrößen
Alltägliche physikalische Größen, die als Vektoren dargestellt werden.
| Größe | Typ | Typische Einheit |
|---|---|---|
| Verschiebung | Vektor | Meter (m) |
| Geschwindigkeit | Vektor | m/s |
| Beschleunigung | Vektor | m/s² |
| Kraft | Vektor | Newton (N) |
| Impuls | Vektor | kg·m/s |
| Tempo | Skalar | m/s |
| Energie | Skalar | Joule (J) |
| Masse | Skalar | kg |
Verwendung
- Wählen Sie den 2D- oder 3D-Modus.
- Geben Sie die Komponenten von Vektor a ein.
- Geben Sie die Komponenten von Vektor b ein.
- Klicken Sie auf Berechnen, um alle Ergebnisse auf einmal zu sehen.
- Lesen Sie Summe, Differenz, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Beträge und Winkel ab.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Skalarprodukt und Kreuzprodukt?
Das Skalarprodukt nimmt zwei Vektoren und liefert einen Skalar (eine einzelne Zahl), der misst, wie stark sie ausgerichtet sind. Das Kreuzprodukt nimmt zwei 3D-Vektoren und liefert einen weiteren Vektor senkrecht zu beiden. Es sind verschiedene Operationen mit unterschiedlicher geometrischer Bedeutung.
Warum ist das Kreuzprodukt nur in 3D verfügbar?
Das Kreuzprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren definiert. In 2D gibt es keine dritte Dimension, in die das Ergebnis zeigen könnte, daher gilt die Operation nicht. Für 2D-Probleme verwenden Sie Skalarprodukt und Winkel.
Was bedeutet ein Skalarprodukt von null?
Ein Skalarprodukt von null bedeutet, dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen (im 90°-Winkel). Das ist der schnellste Weg, Rechtwinkligkeit zu prüfen, ohne Winkel zu berechnen.
Wie wird der Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet?
Mit der Formel cos θ = (a·b) ÷ (|a||b|), also ist θ der Arkuskosinus dieses Verhältnisses. Das Werkzeug berechnet sowohl den Kosinus als auch den Winkel in Grad.
Was ist ein Einheitsvektor?
Ein Einheitsvektor hat den Betrag exakt 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor. Man erhält ihn, indem man jede Komponente durch den Betrag des Vektors teilt. Einheitsvektoren beschreiben Richtungen unabhängig von der Länge.
Kann ich negative Komponenten verwenden?
Ja. Negative Komponenten sind vollkommen gültig und bedeuten lediglich, dass der Vektor entlang dieser Achse in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Das Werkzeug verarbeitet sie in allen Operationen.
Tipps & Ratschläge
Setzen Sie bei 2D-Problemen die dritte Komponente auf null — das Werkzeug rechnet trotzdem korrekt. Denken Sie daran: Das Skalarprodukt ist ein Skalar, das Kreuzprodukt ein Vektor; sie beantworten verschiedene Fragen. Ergibt der Winkel zwischen zwei Vektoren 0°, zeigen sie in dieselbe Richtung; 180° bedeutet entgegengesetzte Richtungen; 90° bedeutet, dass sie senkrecht zueinander stehen. Ein Skalarprodukt von null ist ein schneller Test auf Rechtwinkligkeit — keine Winkelberechnung nötig. Wenn Sie in der Physik mit Kräften arbeiten, verwenden Sie für alle Komponenten immer dieselbe Einheit. Der Projektionswert beantwortet die Frage „wie weit reicht a entlang von b“, was sich von „wie weit reicht b entlang von a“ unterscheidet — prüfen Sie, welche Richtung die Aufgabe verlangt.
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Quellen & Referenzen
- Wolfram MathWorld. Vektoraddition. mathworld.wolfram.com.
- Khan Academy. Vektoren und Räume. khanacademy.org.
Zuletzt geprüft: August 2026.
Einschränkungen
Dieses Tool führt standardmäßige Vektorarithmetik zu Bildungs- und Ingenieurzwecken durch. Die Ergebnisse werden auf sechs Dezimalstellen gerundet.
Was dieses Tool nicht berücksichtigt:
- Gleitkommapräzision: Sehr große oder sehr kleine Komponenten können kleine Rundungsartefakte zeigen.
- Einheiten: Das Tool arbeitet mit reinen Zahlen; stellen Sie sicher, dass alle Komponenten vor der Eingabe dieselbe Einheit verwenden.
- Höhere Dimensionen: Nur 2D- und 3D-Vektoren werden unterstützt; 4D und darüber liegen außerhalb des Rahmens.
Verifizieren Sie kritische Ergebnisse mit einer unabhängigen Berechnung, wenn Präzision zählt.