🔺 Trigonometrie-Rechner
Finden Sie sin, cos, tan, csc, sec und cot für jeden Winkel in Grad oder Bogenmaß. Mit visuellem Einheitskreis und Tabelle der speziellen Winkel.
Was ist dieses Werkzeug?
Die Trigonometrie ist der Zweig der Mathematik, der die Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten von Dreiecken sowie die daraus entstehenden periodischen Funktionen untersucht. Die drei primären trigonometrischen Funktionen —Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan)— werden über die Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks definiert: sin θ = Gegenkathete ÷ Hypotenuse, cos θ = Ankathete ÷ Hypotenuse und tan θ = Gegenkathete ÷ Ankathete. Ihre Kehrwerte sind Kosekans (csc), Sekans (sec) und Kotangens (cot).
Dieser Rechner nimmt jeden Winkel —positiv oder negativ, in Grad oder Bogenmaß— und liefert sofort alle sechs Funktionswerte auf acht Dezimalstellen. Er behandelt spezielle Winkel wie 30°, 45° und 60° exakt, arbeitet mit negativen Winkeln über Symmetrieregeln und weist Sie darauf hin, wenn ein Wert nicht definiert ist (zum Beispiel tan 90°).
Ein visueller Einheitskreis zeigt, wie jeder Winkel mit seinen Sinus- und Kosinus-Koordinaten auf dem Kreis zusammenhängt. Alles läuft lokal in Ihrem Browser, ohne Registrierung — ideal für Hausaufgaben, Prüfungsvorbereitung, Physikaufgaben, technische Zeichnungen und Berechnungen in der Spieleentwicklung.
Für verwandte Berechnungen nutzen Sie den Dreiecks-Rechner, Satz-des-Pythagoras-Rechner, Vektor-Rechner für weitere nützliche Werkzeuge.
Wie es funktioniert
Der Rechner wandelt Ihren Winkel intern in Bogenmaß um (Grad × π ÷ 180) und wertet dann die sechs Funktionen aus: sin θ, cos θ, tan θ = sin θ ÷ cos θ, csc θ = 1 ÷ sin θ, sec θ = 1 ÷ cos θ und cot θ = 1 ÷ tan θ (oder cos θ ÷ sin θ).
Sonderfälle werden explizit behandelt. Wenn cos θ = 0 (bei 90° und 270°), sind tan θ und sec θ nicht definiert —das Werkzeug zeigt „nicht definiert“ an, statt einen unendlichen Wert zurückzugeben. Ebenso sind csc θ und cot θ nicht definiert, wenn sin θ = 0 (bei 0° und 180°). Negative Winkel werden über die Symmetrieidentitäten ausgewertet: sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ und tan(−θ) = −tan θ.
Ein nützlicher abgeleiteter Wert ist die Kehrwert-Prüfung: csc θ = 1 ÷ sin θ muss exakt gelten, sodass Sie jeden Funktionswert durch Berechnung seines Kehrwerts verifizieren können. Das Einheitskreis-Diagramm zeichnet den Punkt (cos θ, sin θ) für Ihren Winkel und zeigt, warum cos die x-Koordinate und sin die y-Koordinate ist.Einheitskreis-Diagramm
Jeder Winkel entspricht einem Punkt (cos θ, sin θ) auf dem Einheitskreis.
Wertetabelle der speziellen Winkel
Exakte trigonometrische Werte für die am häufigsten verwendeten speziellen Winkel.
| Winkel | sin | cos | tan | csc | sec | cot |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | nicht definiert | 1 | nicht definiert |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | 2 | 2√3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 2√3/3 | 2 | √3/3 |
| 90° | 1 | 0 | nicht definiert | 1 | nicht definiert | 0 |
Schnellreferenz der trigonometrischen Identitäten
Wesentliche Identitäten zum Vereinfachen trigonometrischer Ausdrücke.
| Identität | Formel |
|---|---|
| Pythagoreisch | sin²θ + cos²θ = 1 |
| Tangens | tan θ = sin θ ÷ cos θ |
| Kehrwert | csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ |
| Negativer Winkel | sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ |
| Doppelwinkel | sin 2θ = 2 sin θ cos θ |
| Kofunktion | sin(90° − θ) = cos θ |
Verwendung
- Geben Sie den Winkelwert in das Eingabefeld ein.
- Wählen Sie die Einheit —Grad oder Bogenmaß.
- Klicken Sie auf Berechnen, um alle sechs trigonometrischen Funktionen auszuwerten.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab; nicht definierte Werte werden dort angezeigt, wo die Funktion keinen Wert hat.
- Wechseln Sie die Einheit und rechnen Sie neu, um denselben Winkel anders ausgedrückt zu sehen.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Grad und Bogenmaß?
Grad teilen einen vollen Kreis in 360 Teile, während das Bogenmaß Winkel über die Bogenlänge misst, wobei ein voller Kreis 2π Radiant entspricht. Zur Umrechnung multiplizieren Sie Grad mit π/180 für Bogenmaß oder Bogenmaß mit 180/π für Grad.
Warum zeigt der Rechner für tan 90° „nicht definiert" an?
Der Tangens ist als sin θ ÷ cos θ definiert. Bei 90° ist cos 90° = 0, und eine Division durch Null hat keinen definierten Wert. Der Graph von tan θ hat aus diesem Grund bei 90° und 270° eine vertikale Asymptote.
Kann ich negative Winkel eingeben?
Ja. Negative Winkel werden im Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen und über die Symmetrieidentitäten ausgewertet: sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ und tan(−θ) = −tan θ.
Wie funktionieren die speziellen Winkel?
Die speziellen Winkel 30°, 45° und 60° haben exakte trigonometrische Werte mit 1/2, √2/2 und √3/2. Der Rechner liefert sie als präzise Dezimalzahlen, und die Referenztabelle auf dieser Seite listet die exakten Formen.
Was ist der Einheitskreis?
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Für jeden Winkel θ hat der Punkt, an dem der Radius den Kreis trifft, die Koordinaten (cos θ, sin θ) — deshalb ist der Kosinus die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate.
Welche Funktionen sind Kehrwerte voneinander?
Der Kosekans ist der Kehrwert des Sinus (csc θ = 1/sin θ), der Sekans der Kehrwert des Kosinus (sec θ = 1/cos θ) und der Kotangens der Kehrwert des Tangens (cot θ = 1/tan θ).
Tipps & Ratschläge
Merken Sie sich die speziellen Winkel: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 —die Kosinuswerte sind dieselben Werte in umgekehrter Reihenfolge. Für schnelle Kopfrechnungen: sin und cos bleiben immer zwischen −1 und 1, während tan unbegrenzt wachsen kann. Wenn Sie in Grad arbeiten, stellen Sie sicher, dass Ihr Taschenrechner auf Grad-Modus steht —das Mischen von Grad und Bogenmaß ist die häufigste Fehlerquelle in Trigonometrie-Hausaufgaben. Nutzen Sie die Kehrwertfunktionen zur Gegenprüfung: Wenn Ihr Rechner sin 30° = 0.5 anzeigt, muss csc 30° exakt 2 sein. Bei Physikaufgaben wird meist das Bogenmaß bevorzugt —rechnen Sie früh um und arbeiten Sie durchgehend konsistent in einer Einheit.
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Quellen & Referenzen
- NIST. Digitale Bibliothek mathematischer Funktionen - Trigonometrische Funktionen. dlmf.nist.gov.
- Wolfram MathWorld. Trigonometrische Funktionen. mathworld.wolfram.com.
Zuletzt geprüft: August 2026.
Einschränkungen
Dieses Tool wertet standardmäßige trigonometrische Funktionen mit JavaScript-Gleitkommaarithmetik aus. Die Ergebnisse werden auf acht Dezimalstellen gerundet.
Was dieses Tool nicht berücksichtigt:
- Gleitkommapräzision: Bei extrem großen Winkeln kann die wiederholte Umrechnung in Bogenmaß kleine Rundungsfehler verursachen.
- Nicht definierte Werte: Funktionen wie tan 90° sind mathematisch undefiniert; das Tool zeigt „nicht definiert" statt eines numerischen Ergebnisses an.
- Kontexte außerhalb rechtwinkliger Dreiecke: Diese Funktionen beschreiben auch periodisches Wellenverhalten in Physik und Technik, das dieses Tool über den Einheitskreis hinaus nicht visualisiert.
Verifizieren Sie Antworten für Prüfungen und Hausaufgaben immer mit den exakten Werten der speziellen Winkel, wo zutreffend.