🔺 三角函數計算機
以度或弧度輸入任意角度，立即得到 sin、cos、tan、csc、sec、cot 六個函數值，並附單位圓視覺化圖解。
這是什麼工具？
三角函數是研究三角形邊角關係，以及由這些關係衍生出的週期函數的數學分支。三個主要的三角函數——正弦（sin）、餘弦（cos）與正切（tan）——由直角三角形的邊長比定義：sin θ = 對邊 ÷ 斜邊、cos θ = 鄰邊 ÷ 斜邊、tan θ = 對邊 ÷ 鄰邊。它們的倒數分別是餘割（csc）、正割（sec）與餘切（cot）。
這款計算機接受任意角度——正數或負數、度或弧度——立即回傳六個函數值，精確到小數後八位。它正確處理 30°、45°、60° 等特殊角，利用對稱性計算負角，並在函數無定義時（例如 tan 90°）明確標示。
頁面上的單位圓圖解顯示每個角度對應的 (cos θ, sin θ) 座標，幫助理解餘弦為何是 x 座標、正弦為何是 y 座標。所有計算都在瀏覽器本機完成，免註冊，適合作業、考試練習、物理題目、工程製圖與遊戲開發中的角度計算。
運作原理
計算機先將角度換算為弧度（度 × π ÷ 180），再求六個函數值：sin θ、cos θ、tan θ = sin θ ÷ cos θ、csc θ = 1 ÷ sin θ、sec θ = 1 ÷ cos θ、cot θ = 1 ÷ tan θ（或 cos θ ÷ sin θ）。
特殊情況會明確處理。當 cos θ = 0（即 90° 與 270°）時，tan θ 與 sec θ 無定義——工具顯示「無定義」而非回傳無限大。同理，當 sin θ = 0（0° 與 180°）時，csc θ 與 cot θ 無定義。負角則利用對稱恆等式：sin(−θ) = −sin θ、cos(−θ) = cos θ、tan(−θ) = −tan θ。
一個實用的衍生驗算是倒數關係：csc θ = 1 ÷ sin θ 必須嚴格成立，因此任何單一函數值都可以透過求倒數來驗證。單位圓圖解將角度對應的點 (cos θ, sin θ) 畫在圓上，清楚呈現餘弦為 x 座標、正弦為 y 座標的幾何意義。單位圓圖解
每個角度在單位圓上都對應一個點 (cos θ, sin θ)。
特殊角函數值對照表
最常用特殊角的精確三角函數值。
| 角度 | sin | cos | tan | csc | sec | cot |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 無定義 | 1 | 無定義 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | 2 | 2√3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 2√3/3 | 2 | √3/3 |
| 90° | 1 | 0 | 無定義 | 1 | 無定義 | 0 |
三角恆等式速查表
化簡三角函數式必備的基本恆等式。
| 恆等式 | 公式 |
|---|---|
| 畢氏 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切 | tan θ = sin θ ÷ cos θ |
| 倒數 | csc θ = 1/sin θ，sec θ = 1/cos θ，cot θ = 1/tan θ |
| 負角 | sin(−θ) = −sin θ，cos(−θ) = cos θ |
| 二倍角 | sin 2θ = 2 sin θ cos θ |
| 餘角 | sin(90° − θ) = cos θ |
使用方法
- 在輸入框輸入角度值。
- 選擇單位——度或弧度。
- 按下「計算」，取得六個三角函數值。
- 檢視結果；函數無定義處會顯示「無定義」。
- 切換單位重新計算，觀察同一角度在不同單位下的表現。
常見問題
度與弧度有什麼差別？
度將一個圓分成 360 等份，弧度則以弧長定義角度，一個圓等於 2π 弧度。換算方式：度乘以 π/180 得弧度，弧度乘以 180/π 得度。
為什麼 tan 90° 顯示「無定義」？
正切定義為 sin θ ÷ cos θ。在 90° 時 cos 90° = 0，除以零沒有定義。正切函數圖形在 90° 與 270° 處有垂直漸近線，正是這個原因。
可以輸入負角嗎？
可以。負角從正 x 軸順時針量測，利用對稱恆等式計算：sin(−θ) = −sin θ、cos(−θ) = cos θ、tan(−θ) = −tan θ。
特殊角是怎麼算的？
30°、45°、60° 等特殊角具有包含 1/2、√2/2、√3/2 的精確三角函數值。計算機回傳精確的小數結果，本頁的對照表列出其精確形式。
什麼是單位圓？
單位圓是以原點為圓心、半徑為 1 的圓。對任意角度 θ，半徑與圓周的交點座標為 (cos θ, sin θ)，這就是餘弦為 x 座標、正弦為 y 座標的原因。
哪些函數互為倒數？
餘割是正弦的倒數（csc θ = 1/sin θ），正割是餘弦的倒數（sec θ = 1/cos θ），餘切是正切的倒數（cot θ = 1/tan θ）。
技巧與建議
背熟特殊角：sin 30° = 1/2、sin 45° = √2/2、sin 60° = √3/2——餘弦正好是這些值的反序。快速心算時記住，sin 與 cos 永遠介於 −1 與 1 之間，tan 則可以無限增大。用度數解題時，確認計算機設定在度模式——度與弧度混用是三角函數作業中最常見的錯誤來源。善用倒數函數交叉驗證：如果 sin 30° = 0.5，那麼 csc 30° 必然等於 2。物理題目通常偏好弧度，建議及早換算，並在整個解題過程中保持一致單位。
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來源與參考
- NIST. 數學函數數位圖書館 - 三角函數。dlmf.nist.gov。
- Wolfram MathWorld. 三角函數。mathworld.wolfram.com。
最後審閱：2026 年 8 月。
限制與免責聲明
本工具以 JavaScript 浮點運算評估標準三角函數，結果四捨五入至小數後八位。
本工具未涵蓋的因素：
- 浮點精度：極大的角度在換算弧度時可能產生微小捨入誤差。
- 無定義值：tan 90° 等函數在數學上無定義，工具顯示「無定義」而非數值。
- 非直角三角形情境：這些函數在物理與工程中也描述週期波動，本工具除單位圓外不提供其他視覺化。
考試與作業答案請務必以特殊角的精確值驗證。