🧮 矩陣計算機
對矩陣進行加法、減法、乘法與行列式運算。可選擇 2×2 或 3×3 尺寸，輸入元素後即時取得結果。
這是什麼工具？
矩陣是排列成列與行的矩形數字陣列。矩陣是線性代數的基礎，幾乎出現在所有量化領域：電腦圖學（變換與投影）、機器學習（神經網絡的權重矩陣）、物理（量子力學與旋轉）、經濟學（投入產出模型）、工程（應力與應變）以及統計學（共變異數與相關）。
最常見的四種矩陣運算為加法、減法、乘法與行列式。加法與減法是逐元素運算，要求兩個矩陣維度相同。乘法將兩個矩陣合併為一個新矩陣，要求第一個矩陣的欄數等於第二個矩陣的列數。行列式是從方陣計算出的一個數值，可用來判斷矩陣是否可逆，並描述它如何縮放面積或體積。
這個矩陣計算機可處理 2×2 與 3×3 矩陣，支援加法、減法、乘法與行列式運算。所有運算都在你的瀏覽器中執行，你可以自由實驗，資料不會離開你的裝置。運作原理
加法與減法方面，結果矩陣的每個元素是對應元素的和或差：C[i][j] = A[i][j] ± B[i][j]。兩個矩陣必須具有相同維度。
乘法方面，乘積中第 i 列第 j 行的元素是第一個矩陣第 i 列與第二個矩陣第 j 行的點積：C[i][j] = Σ A[i][k] × B[k][j]。對 2×2 矩陣而言，每個元素需要四次乘法與加法；對 3×3 矩陣則需要九次。A 的欄數必須等於 B 的列數。
2×2 矩陣的行列式為 det = ad − bc（矩陣為 [[a,b],[c,d]]）。3×3 矩陣則沿第一列進行餘因子展開（拉普拉斯展開）：det = a(ei−fh) − b(di−fg) + c(dh−eg)。行列式為零表示矩陣為奇異（不可逆）。使用方法
- 選擇矩陣尺寸（2×2 或 3×3）。
- 選擇運算（加法、減法、乘法或行列式）。
- 輸入第一個矩陣的元素。
- 輸入第二個矩陣的元素（行列式運算不需要）。
- 點選計算以查看結果矩陣或行列式值。
常見問題
我可以將 2×2 矩陣乘以 3×3 矩陣嗎？
不行。乘法要有定義，第一個矩陣的欄數必須等於第二個矩陣的列數。本計算機要求兩個矩陣尺寸相同。若你需要混合維度，請逐步計算乘積或使用更進階的工具。
行列式為零代表什麼？
行列式為零表示矩陣為奇異，也就是沒有反矩陣。在幾何上，該矩陣所代表的變換會將整個空間塌縮到較低維度的子空間（一條線或一個點）。在線性方程組中，行列式為零表示沒有唯一解。
為什麼矩陣乘法不滿足交換律？
與普通數字不同，矩陣通常 A×B 不等於 B×A。順序很重要，因為乘積的每個元素都取決於第一個矩陣的列與第二個矩陣的行。對調順序會改變哪個列與哪個行配對，從而得到不同的結果。
如何求矩陣的反矩陣？
只有當矩陣的行列式不為零時才有反矩陣。本計算機著重於四種核心運算。求反矩陣時，將伴隨矩陣除以行列式。對 2×2 矩陣 [[a,b],[c,d]]，反矩陣為 (1/det)×[[d,−b],[−c,a]]。
技巧與建議
操作矩陣時，務必先檢查維度是否相容再開始計算。乘法方面，將維度並排寫出：(m×n) 與 (n×p) 得到 (m×p)。若內部維度不相符，乘積就沒有定義。行列式只對方陣（列數與行數相同）有定義。較大的行列式表示該矩陣代表的變換會大幅縮放面積或體積；行列式接近零則暗示接近奇異，可能在計算中造成數值不穩定。在機器學習與資料科學中，矩陣乘法是前向傳播的骨幹：神經網絡的每一層本質上就是一個矩陣向量乘積再加上激活函數。理解矩陣維度如何在計算圖中流動，對於在 PyTorch 與 TensorFlow 等框架中除錯形狀錯誤至關重要。
相關工具
工程計算機
使用我們的免費線上科學計算器計算三角函數、對數、指數等。帶有sin、cos、tan、log和平方根的完整計算器。在瀏覽器中運行。適配手機和電腦，隨時隨地可用。
分數計算機
免費的分數計算機，支援分數加、減、乘、除運算。提供簡化結果和分步解答，非常適合作業輔導和數學學習。即時計算，操作簡便。
三角形計算機
立即計算三角形面積、周長、角度和缺失邊長。輸入任意三個已知值，支援 SSS、SAS、ASA 和 AAS 方式。適合幾何學習的免費線上工具。
最小公倍數和最大公約數計算器
免費線上最小公倍數和最大公約數計算器。即時求出任意一組數字的最小公倍數和最大公約數。非常適合數學作業。全程本地處理，保護你的隱私。結果可直接複製使用。
階乘計算器
免費線上階乘計算器。即時計算任意非負整數的階乘。使用任意精度算術處理大數。非常適合組合數學。輸入參數即可獲得詳細結果。附帶使用提示，降低學習成本。
向量計算機
在 2D 或 3D 空間中一次計算向量加法、減法、點積、叉積、長度與夾角，並自動給出單位向量與投影值。附平行四邊形視覺化圖解，適合物理作業、工程計算與圖學應用，