🔔 常態分佈計算機
常態分佈計算機是一款免費的統計工具，用來計算鐘型常態分佈的機率。輸入平均值 μ 與標準差 σ，再選擇模式——小於某值 P(X ≤ x)、大於某值 P(X ≥ x)、介於兩值之間 P(a ≤ X ≤ b)。工具會回傳機率、對應的 z 分數、機率密度 f(x)，以及白話解讀。所有計算都在你的瀏覽器中本機執行，資料不上傳、免註冊。學生與分析師用它來做作業、品質管制、風險評估，以及任何需要高斯機率的工作。
計算任意常態分佈的累積機率、尾端機率、區間機率。輸入 μ 與 σ 即可，全程在本機離線執行。
這是什麼工具？
常態分佈——又稱高斯分佈或鐘型曲線——是統計學中最重要的連續機率分佈。它對稱的鐘型曲線完全由兩個參數決定：平均值 μ 決定曲線的中心位置，標準差 σ 決定曲線的寬窄。著名的 68-95-99.7 法則指出，大約 68% 的觀測值落在平均值加減一個標準差內，95% 在兩個標準差內，99.7% 在三個標準差內。
因為許多自然與社會現象都近似常態分佈——身高、血壓、測量誤差、考試成績、製造公差——常態分佈可說是推論統計的核心。六標準差品質計畫、IQ 量尺、金融風險模型與信賴區間，全都以它為基礎。
這款計算機讓你瞬間取得這些機率。選好模式，輸入 μ、σ 與數值，它就會回傳機率密度 f(x)、累積機率與對應的 z 分數。所有計算都在瀏覽器中完成——資料不上傳。需要延伸分析時，可試試 z 分數計算機、標準差計算機 與 信賴區間計算機。運作原理
計算機先將你輸入的數值換算成 z 分數，再求標準常態分佈的累積分配函數（CDF）。
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−(x − μ)² / (2σ²))
P(X ≤ x) = Φ(z) = (1/√(2π)) · ∫−∞z e^(−t²/2) dt，其中 z = (x − μ) / σ
z 分數對照百分位表
常見 z 分數對應的累積機率 Φ(z) = P(Z ≤ z)。可用來取代印刷版 z 表快速查詢。
| z 分數 | P(Z ≤ z) | 百分位數 | 右尾 P(Z > z) |
|---|---|---|---|
| −3.00 | 0.00135 | 0.135% | 99.865% |
| −2.58 | 0.00494 | 0.494% | 99.506% |
| −2.00 | 0.02275 | 2.275% | 97.725% |
| −1.96 | 0.02500 | 2.500% | 97.500% |
| −1.645 | 0.05000 | 5.000% | 95.000% |
| −1.00 | 0.15866 | 15.866% | 84.134% |
| −0.50 | 0.30854 | 30.854% | 69.146% |
| 0.00 | 0.50000 | 50.000% | 50.000% |
| 0.50 | 0.69146 | 69.146% | 30.854% |
| 1.00 | 0.84134 | 84.134% | 15.866% |
| 1.645 | 0.95000 | 95.000% | 5.000% |
| 1.96 | 0.97500 | 97.500% | 2.500% |
| 2.00 | 0.97725 | 97.725% | 2.275% |
| 2.58 | 0.99506 | 99.506% | 0.494% |
| 3.00 | 0.99865 | 99.865% | 0.135% |
經驗法則（68-95-99.7）
常態分佈中，落在平均值加減 1、2、3 個標準差範圍內的百分比。
| 範圍 | 區間 | 區間內機率 | 區間外機率 |
|---|---|---|---|
| ±1σ | μ − σ 到 μ + σ | ≈ 68.27% | ≈ 31.73% |
| ±2σ | μ − 2σ 到 μ + 2σ | ≈ 95.45% | ≈ 4.55% |
| ±3σ | μ − 3σ 到 μ + 3σ | ≈ 99.73% | ≈ 0.27% |
超出 ±3σ 的值（約 0.27%）在品質管制與風險分析中常被視為異常值。雙側 95% 的精確區間是 ±1.96σ，這就是 95% 信賴區間的來源。
使用方法
- 輸入分佈的平均值 μ（標準常態請填 0）。
- 輸入標準差 σ，必須是正數。
- 選擇模式——小於某值、大於某值，或介於兩值之間。
- 輸入數值 x（區間模式則輸入下界 a 與上界 b）。
- 按下計算，讀取機率、百分比、z 分數、密度 f(x) 與白話解讀。
常見問題
PDF 和 CDF 有什麼不同？
機率密度函數 f(x) 是鐘型曲線在單一點的高度——它本身不是機率。累積分配函數 Φ(x) = P(X ≤ x) 才是觀測值落在 x 及以下範圍的實際機率，等於曲線下方從左到 x 的陰影面積。
z 分數和常態分佈有什麼關係？
z 分數透過 z = (x − μ) / σ 將任意數值換算為標準常態單位。它表示 x 距離平均值幾個標準差。例如 z = 1.96 代表 x 高於 μ 1.96 個標準差，其右側尾端機率約為 2.5%。
什麼是經驗法則 68-95-99.7？
在常態分佈中，約 68% 的值落在平均值加減 1 個標準差內，95% 在 2 個標準差內，99.7% 在 3 個標準差內。這是不必積分就能快速估計機率的法則，且只適用於常態分佈。
為什麼 σ 必須是正值？
標準差衡量的是離散程度，必須是正實數。σ = 0 表示所有觀測值都等於平均值，整個分佈塌縮成一點；σ < 0 在數學上沒有意義。計算機會拒絕零或負值。
這個工具可以反推——給定百分位數求 x 嗎？
不可以。本工具只支援三種模式：小於 P(X ≤ x)、大於 P(X ≥ x)、區間 P(a ≤ X ≤ b)。不提供反推（給定機率求 x）的功能。
計算機可以用於標準常態分佈嗎？
當然可以。把 μ 設為 0、σ 設為 1，所有結果都會是標準常態形式，與 z 表給的值一致。工具仍會顯示 z 分數、密度與累積機率。
技巧與建議
z 分數 ±1.96 對應分佈中間 95% 的範圍——這正是常見 95% 信賴區間的由來。請記住 P(X ≤ μ) 永遠等於 0.5，因為常態曲線對平均值對稱。當 σ 很大時，曲線又扁又寬，尾端機率下降得很慢；σ 很小時，機率會集中在 μ 附近。務必確認 σ 為正值——零或負的標準差不合法，工具會拒絕。使用區間模式時，下界 a 不可超過上界 b。所有計算都在你的瀏覽器中進行。
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來源與參考
- Abramowitz M, Stegun IA. Handbook of Mathematical Functions, 公式 7.1.26 — 誤差函數近似。dlmf.nist.gov。
- NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods — 常態分佈。itl.nist.gov。
- 維基百科。常態分佈。zh.wikipedia.org。
最後審閱：2026 年 8 月。
限制與免責聲明
本工具計算高斯機率，用途為教育與分析參考。它假設你的資料確實服從常態分佈——實際資料往往偏態或厚尾。
本工具未涵蓋的因素：
- 非常態資料：身高、測量誤差等數量常近似常態，但所得、反應時間與許多財務報酬並非如此。依賴機率結論前，務必檢驗分佈假設。
- 數值精度：誤差函數近似精度約 1×10⁻⁷，足以應付日常工作，但不適用於密碼學或高精度研究。
- 離散資料：常態分佈為連續型。對計數或比例，二項或卜瓦松模型可能更合適。
關鍵決策請以專業統計軟體驗證，並諮詢合格統計學家。