🔔 Calculadora de Distribución Normal
La calculadora de distribución normal es una herramienta estadística gratuita que calcula probabilidades de la distribución normal en forma de campana. Introduce la media μ y la desviación estándar σ, elige un modo — por debajo de un valor P(X ≤ x), por encima de un valor P(X ≥ x), entre dos valores P(a ≤ X ≤ b) — y la herramienta devuelve la probabilidad, el z-score equivalente, la densidad f(x) y una interpretación en lenguaje sencillo. Todos los cálculos se ejecutan localmente en tu navegador, sin subir datos y sin necesidad de cuenta. Estudiantes y analistas la usan para tareas, control de calidad, evaluación de riesgos y cualquier tarea que necesite probabilidades gaussianas.
Calcula probabilidades acumuladas, de cola, de intervalo para cualquier distribución normal. Introduce μ y σ — totalmente sin conexión.
¿Qué es esta herramienta?
La distribución normal —también llamada gaussiana o curva de campana— es la distribución de probabilidad continua más importante de la estadística. Su curva simétrica en forma de campana queda completamente descrita por dos parámetros: la media μ, que sitúa el centro de la curva, y la desviación estándar σ, que controla la anchura. La célebre regla 68-95-99.7 dice que aproximadamente el 68% de las observaciones caen dentro de una desviación estándar de la media, el 95% dentro de dos y el 99,7% dentro de tres.
Como muchísimos fenómenos naturales y sociales se aproximan a una distribución normal —estaturas, tensión arterial, errores de medida, puntuaciones de examen, tolerancias de fabricación—, la distribución normal es el corazón de la estadística inferencial. Los programas de calidad Seis Sigma, la escala de CI, los modelos de riesgo financiero y los intervalos de confianza se apoyan en ella.
Esta calculadora te da esas probabilidades al instante. Elige un modo, introduce μ, σ y tu(s) valor(es), y devuelve la densidad f(x), la probabilidad acumulada y el z-score equivalente. Todo corre en tu navegador —nada se sube. Para análisis relacionados, prueba la calculadora de z-score, la calculadora de desviación estándar y la calculadora de intervalo de confianza.Cómo funciona
La calculadora convierte tu valor en un z-score y luego evalúa la función de distribución acumulada (CDF) de la normal estándar.
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−(x − μ)² / (2σ²))
P(X ≤ x) = Φ(z) = (1/√(2π)) · ∫−∞z e^(−t²/2) dt, donde z = (x − μ) / σ
Tabla de z-score a percentil
Probabilidad acumulada Φ(z) = P(Z ≤ z) para z-scores habituales. Úsala como consulta rápida en lugar de una tabla z impresa.
| z-score | P(Z ≤ z) | Percentil | Cola P(Z > z) |
|---|---|---|---|
| −3.00 | 0.00135 | 0.135% | 99.865% |
| −2.58 | 0.00494 | 0.494% | 99.506% |
| −2.00 | 0.02275 | 2.275% | 97.725% |
| −1.96 | 0.02500 | 2.500% | 97.500% |
| −1.645 | 0.05000 | 5.000% | 95.000% |
| −1.00 | 0.15866 | 15.866% | 84.134% |
| −0.50 | 0.30854 | 30.854% | 69.146% |
| 0.00 | 0.50000 | 50.000% | 50.000% |
| 0.50 | 0.69146 | 69.146% | 30.854% |
| 1.00 | 0.84134 | 84.134% | 15.866% |
| 1.645 | 0.95000 | 95.000% | 5.000% |
| 1.96 | 0.97500 | 97.500% | 2.500% |
| 2.00 | 0.97725 | 97.725% | 2.275% |
| 2.58 | 0.99506 | 99.506% | 0.494% |
| 3.00 | 0.99865 | 99.865% | 0.135% |
Regla Empírica (68-95-99.7)
Para una distribución normal, porcentaje de valores dentro de ±1, ±2 y ±3 desviaciones estándar de la media.
| Rango | Intervalo | Probabilidad interna | Probabilidad externa |
|---|---|---|---|
| ±1σ | μ − σ a μ + σ | ≈ 68.27% | ≈ 31.73% |
| ±2σ | μ − 2σ a μ + 2σ | ≈ 95.45% | ≈ 4.55% |
| ±3σ | μ − 3σ a μ + 3σ | ≈ 99.73% | ≈ 0.27% |
Los valores más allá de ±3σ (apenas un 0,27%) suelen tratarse como atípicos en control de calidad y análisis de riesgos. El intervalo bilateral exacto del 95% es ±1,96σ, de donde proviene el intervalo de confianza del 95%.
Cómo usar
- Introduce la media μ de tu distribución (usa 0 para la normal estándar).
- Introduce la desviación estándar σ. Debe ser un número positivo.
- Elige un modo —por debajo de un valor, por encima de un valor o entre dos valores.
- Escribe el valor x (o los límites a y b para el modo intervalo).
- Pulsa Calcular. Lee la probabilidad, el porcentaje, el z-score, la densidad f(x) y la interpretación.
Preguntas Frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre PDF y CDF?
La función de densidad f(x) da la altura de la curva de campana en un solo punto —no es por sí sola una probabilidad. La función de distribución acumulada Φ(x) = P(X ≤ x) es la probabilidad real de observar un valor hasta x inclusive, y equivale al área sombreada bajo la curva a la izquierda de x.
¿Cómo se relaciona el z-score con la distribución normal?
El z-score convierte cualquier valor a unidades normalizadas mediante z = (x − μ) / σ. Indica cuántas desviaciones estándar está x por encima o por debajo de la media. Por ejemplo, z = 1,96 significa que x está 1,96 desviaciones estándar por encima de μ y la probabilidad de cola superior más allá es de cerca del 2,5%.
¿Qué es la regla empírica 68-95-99,7?
En una distribución normal, cerca del 68% de los valores están en ±1σ de la media, el 95% en ±2σ y el 99,7% en ±3σ. Es un atajo mental rápido para estimar probabilidades sin integrar y solo vale para la distribución normal.
¿Por qué σ tiene que ser positivo?
La desviación estándar mide dispersión, así que debe ser un número real positivo. σ = 0 significaría que todas las observaciones son exactamente iguales a la media, colapsando la distribución en un único punto; σ < 0 carece de sentido matemático. La calculadora rechaza valores cero o negativos.
¿Puede esta herramienta hallar el inverso —el valor x para un percentil dado?
{'No, la herramienta solo admite tres modos': 'menor que P(X ≤ x), mayor que P(X ≥ x) y entre P(a ≤ X ≤ b). No calcula la inversa (el x para una probabilidad dada).'}
¿Sirve la calculadora para la distribución normal estándar?
Por supuesto. Pon μ = 0 y σ = 1 y todos los resultados estarán en forma normal estándar, idénticos a los de una tabla z. La herramienta sigue mostrando el z-score, la densidad y la probabilidad acumulada.
Consejos
Un z-score de ±1,96 corresponde al 95% central de la distribución —de ahí viene el conocido intervalo de confianza del 95%. Recuerda que P(X ≤ μ) es siempre exactamente 0,5, porque la curva normal es simétrica respecto a la media. Cuando σ es muy grande, la curva es plana y ancha y las probabilidades de cola decrecen lentamente; cuando σ es pequeña, la probabilidad se concentra de forma pronunciada alrededor de μ. Comprueba siempre que σ sea positivo —una desviación estándar cero o negativa no es válida y la herramienta la rechazará. En el modo intervalo, asegúrate de que el límite inferior a no supere al superior b. Todos los cálculos permanecen en tu navegador.
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Fuentes y Referencias
- Abramowitz M, Stegun IA. Handbook of Mathematical Functions, fórmula 7.1.26 — aproximación de la función de error. dlmf.nist.gov.
- NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods — Distribución normal. itl.nist.gov.
- Wikipedia. Distribución normal. es.wikipedia.org.
Revisado por última vez: agosto 2026.
Limitaciones
Esta herramienta calcula probabilidades gaussianas con fines educativos y analíticos. Asume que tus datos realmente siguen una distribución normal —los conjuntos reales suelen ser asimétricos o de colas pesadas.
Lo que esta herramienta no tiene en cuenta:
- Datos no normales: estaturas, errores de medida y similares suelen ser aproximadamente normales, pero ingresos, tiempos de reacción y muchos retornos financieros no lo son. Verifica siempre los supuestos distributivos antes de fiarte de las probabilidades.
- Precisión numérica: la aproximación de la función de error es exacta hasta aproximadamente 1×10⁻⁷, suficiente para el uso cotidiano pero no para criptografía o investigación de alta precisión.
- Datos discretos: la distribución normal es continua. Para recuentos o proporciones, un modelo binomial o de Poisson puede ser más adecuado.
Para decisiones críticas, verifica los resultados con software estadístico dedicado y consulta a un estadístico cualificado.