🔔 Calculadora de Distribuição Normal
A calculadora de distribuição normal é uma ferramenta estatística gratuita que calcula probabilidades da distribuição normal em forma de sino. Insira a média μ e o desvio padrão σ, escolha um modo — abaixo de um valor P(X ≤ x), acima de um valor P(X ≥ x), entre dois valores P(a ≤ X ≤ b) — e a ferramenta devolve a probabilidade, o z-score equivalente, a densidade f(x) e uma interpretação em linguagem simples. Todos os cálculos correm localmente no seu navegador, sem carregar dados e sem necessidade de conta. Estudantes e analistas usam-na para trabalhos, controle de qualidade, avaliação de riscos e qualquer tarefa que precise de probabilidades gaussianas.
Calcule probabilidades acumuladas, de cauda, de intervalo para qualquer distribuição normal. Insira μ e σ — totalmente offline.
O que é esta ferramenta?
A distribuição normal —também chamada gaussiana ou curva sino— é a distribuição de probabilidade contínua mais importante da estatística. A sua curva simétrica em forma de sino é totalmente descrita por dois parâmetros: a média μ, que posiciona o centro da curva, e o desvio padrão σ, que controla a largura. A famosa regra 68-95-99,7 diz que cerca de 68% das observações caem dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois e 99,7% dentro de três.
Como muitos fenómenos naturais e sociais se aproximam de uma distribuição normal —alturas, tensão arterial, erros de medição, notas de exame, tolerâncias de fabrico—, a distribuição normal é o coração da estatística inferencial. Programas de qualidade Seis Sigma, escalas de QI, modelos de risco financeiro e intervalos de confiança assentam todos nela.
Esta calculadora dá-lhe essas probabilidades num instante. Escolha um modo, insira μ, σ e o(s) seu(s) valor(es), e ela devolve a densidade f(x), a probabilidade acumulada e o z-score equivalente. Tudo corre no seu navegador —nada é enviado. Para análises relacionadas, experimente a calculadora de z-score, a calculadora de desvio padrão e a calculadora de intervalo de confiança.Como funciona
A calculadora converte o seu valor num z-score e depois avalia a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão.
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−(x − μ)² / (2σ²))
P(X ≤ x) = Φ(z) = (1/√(2π)) · ∫−∞z e^(−t²/2) dt, onde z = (x − μ) / σ
Tabela de z-score para percentil
Probabilidade acumulada Φ(z) = P(Z ≤ z) para z-scores comuns. Use como consulta rápida em vez de uma tabela z impressa.
| z-score | P(Z ≤ z) | Percentil | Cauda P(Z > z) |
|---|---|---|---|
| −3.00 | 0.00135 | 0.135% | 99.865% |
| −2.58 | 0.00494 | 0.494% | 99.506% |
| −2.00 | 0.02275 | 2.275% | 97.725% |
| −1.96 | 0.02500 | 2.500% | 97.500% |
| −1.645 | 0.05000 | 5.000% | 95.000% |
| −1.00 | 0.15866 | 15.866% | 84.134% |
| −0.50 | 0.30854 | 30.854% | 69.146% |
| 0.00 | 0.50000 | 50.000% | 50.000% |
| 0.50 | 0.69146 | 69.146% | 30.854% |
| 1.00 | 0.84134 | 84.134% | 15.866% |
| 1.645 | 0.95000 | 95.000% | 5.000% |
| 1.96 | 0.97500 | 97.500% | 2.500% |
| 2.00 | 0.97725 | 97.725% | 2.275% |
| 2.58 | 0.99506 | 99.506% | 0.494% |
| 3.00 | 0.99865 | 99.865% | 0.135% |
Regra Empírica (68-95-99.7)
Para uma distribuição normal, percentagem de valores dentro de ±1, ±2 e ±3 desvios padrão da média.
| Intervalo | Faixa | Probabilidade interna | Probabilidade externa |
|---|---|---|---|
| ±1σ | μ − σ a μ + σ | ≈ 68.27% | ≈ 31.73% |
| ±2σ | μ − 2σ a μ + 2σ | ≈ 95.45% | ≈ 4.55% |
| ±3σ | μ − 3σ a μ + 3σ | ≈ 99.73% | ≈ 0.27% |
Valores além de ±3σ (cerca de 0,27%) são frequentemente tratados como atípicos em controle de qualidade e análise de riscos. O intervalo bilateral exato de 95% é ±1,96σ, de onde provém o intervalo de confiança de 95%.
Como usar
- Insira a média μ da sua distribuição (use 0 para a normal padrão).
- Insira o desvio padrão σ. Tem de ser um número positivo.
- Escolha um modo —abaixo de um valor, acima de um valor ou entre dois valores.
- Escreva o valor x (ou os limites a e b para o modo intervalo).
- Prima Calcular. Leia a probabilidade, a percentagem, o z-score, a densidade f(x) e a interpretação.
Perguntas Frequentes
Qual é a diferença entre PDF e CDF?
A função densidade f(x) dá a altura da curva sino num único ponto —não é ela própria uma probabilidade. A função de distribuição acumulada Φ(x) = P(X ≤ x) é a probabilidade real de observar um valor até x inclusive, que corresponde à área sombreada sob a curva à esquerda de x.
Como é que o z-score se relaciona com a distribuição normal?
O z-score converte qualquer valor em unidades normais padrão através de z = (x − μ) / σ. Indica a quantos desvios padrão x está acima ou abaixo da média. Por exemplo, z = 1,96 significa que x está 1,96 desvios padrão acima de μ e a probabilidade de cauda para além é de cerca de 2,5%.
O que é a regra empírica 68-95-99,7?
Numa distribuição normal, cerca de 68% dos valores estão em ±1σ da média, 95% em ±2σ e 99,7% em ±3σ. É um atalho mental rápido para estimar probabilidades sem integrar e só se aplica à distribuição normal.
Porque é que σ tem de ser positivo?
O desvio padrão mede dispersão, por isso tem de ser um número real positivo. σ = 0 significaria que todas as observações são exatamente iguais à média, colapsando a distribuição num único ponto; σ < 0 não tem sentido matemático. A calculadora rejeita valores zero ou negativos.
Esta ferramenta pode encontrar o inverso —o valor x para um dado percentil?
{'Não — a ferramenta oferece apenas três modos': 'menor que P(X ≤ x), maior que P(X ≥ x) e entre P(a ≤ X ≤ b). Ela não calcula o inverso (o x para uma probabilidade dada).'}
A calculadora serve para a distribuição normal padrão?
Claro. Defina μ = 0 e σ = 1 e todos os resultados estarão em forma normal padrão, idênticos aos de uma tabela z. A ferramenta continua a mostrar o z-score, a densidade e a probabilidade acumulada.
Dicas
Um z-score de ±1,96 corresponde aos 95% centrais da distribuição —é daí que vem o conhecido intervalo de confiança de 95%. Lembre-se de que P(X ≤ μ) é sempre exatamente 0,5, pois a curva normal é simétrica em relação à média. Quando σ é muito grande, a curva é plana e larga e as probabilidades de cauda diminuem lentamente; quando σ é pequeno, a probabilidade concentra-se acentuadamente em torno de μ. Confirme sempre que σ é positivo —um desvio padrão zero ou negativo é inválido e a ferramenta rejeitará. No modo intervalo, certifique-se de que o limite inferior a não ultrapassa o superior b. Todos os cálculos ficam no seu navegador.
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Fontes e Referências
- Abramowitz M, Stegun IA. Handbook of Mathematical Functions, fórmula 7.1.26 — aproximação da função erro. dlmf.nist.gov.
- NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods — Distribuição normal. itl.nist.gov.
- Wikipédia. Distribuição normal. pt.wikipedia.org.
Última revisão: agosto de 2026.
Limitações
Esta ferramenta calcula probabilidades gaussianas para fins educativos e analíticos. Parte do princípio que os seus dados seguem realmente uma distribuição normal —os conjuntos reais costumam ser enviesados ou de caudas pesadas.
O que esta ferramenta não contempla:
- Dados não normais: alturas, erros de medição e quantidades semelhantes costumam ser aproximadamente normais, mas rendimentos, tempos de reação e muitos retornos financeiros não o são. Verifique sempre os pressupostos de distribuição antes de confiar nas probabilidades.
- Precisão numérica: a aproximação da função erro é exata até cerca de 1×10⁻⁷, suficiente para o uso diário mas não para criptografia ou investigação de alta precisão.
- Dados discretos: a distribuição normal é contínua. Para contagens ou proporções, um modelo binomial ou de Poisson pode ser mais adequado.
Para decisões críticas, confirme os resultados com software estatístico dedicado e consulte um estatístico qualificado.