← ホーム

🔔 正規分布計算機

正規分布計算機は、ベル型の正規分布の確率を計算する無料の統計ツールです。平均 μ と標準偏差 σ を入力し、モード（ある値未満 P(X ≤ x)、ある値より大きい P(X ≥ x)、2つの値の間 P(a ≤ X ≤ b)）を選ぶと、確率、対応する z スコア、確率密度 f(x)、分かりやすい解釈を返します。すべての計算はブラウザー内でローカルに実行され、データはアップロードされず、アカウントも不要です。学生やアナリストは宿題、品質管理、リスク評価など、ガウス確率が必要なあらゆる作業に利用しています。

任意の正規分布について、累積確率、裾確率、区間確率を計算。μ と σ を入力するだけで、完全にオフラインで動作します。

平均 (μ)

標準偏差 (σ)

モード

値 (x)

上限 (b)

このツールとは？

正規分布——ガウス分布やベル曲線とも呼ばれます——は、統計学で最も重要な連続確率分布です。左右対称のベル型曲線は、曲線の中心を決める平均 μ と、広がりを決める標準偏差 σ の2つのパラメータで完全に記述されます。有名な 68-95-99.7 の法則によれば、観測値の約 68% は平均から±1標準偏差以内に、95% は±2標準偏差以内に、99.7% は±3標準偏差以内に収まります。身長、血圧、測定誤差、テストの点数、製造公差など、多くの自然現象や社会現象が正規分布に近いため、正規分布は推測統計の要です。シックスシグマの品質プログラム、IQ の尺度、金融リスクモデル、信頼区間はすべて正規分布を基礎としています。この計算機はそれらの確率を瞬時に求めます。モードを選び、μ、σ、値を入力すれば、確率密度 f(x)、累積確率、対応する z スコアを返します。すべてはブラウザー内で処理され——データはアップロードされません。関連する分析には、z スコア計算機、標準偏差計算機、信頼区間計算機をお試しください。

仕組み

計算機は入力値を z スコアに変換し、標準正規分布の累積分布関数（CDF）を評価します。

確率密度関数（PDF）
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−(x − μ)² / (2σ²))

累積分布関数（CDF）
P(X ≤ x) = Φ(z) = (1/√(2π)) · ∫_−∞^z e^(−t²/2) dt，ここで z = (x − μ) / σ

この積分には閉じた形式の解がないため、ツールは誤差関数 erf(z) の Abramowitz & Stegun 7.1.26 近似式で Φ(z) を評価します（精度は小数第7位程度）。この単一の CDF 値からすべてのモードが導かれます。左裾 P(X ≤ x) はそのまま Φ(z)、右裾 P(X ≥ x) は 1 − Φ(z)、区間 P(a ≤ X ≤ b) は Φ(zb) − Φ(za) です。曲線上での位置を確認できるよう、確率密度 f(x) も併せて表示されます。

z スコアからパーセンタイルへの表

一般的な z スコアに対する累積確率 Φ(z) = P(Z ≤ z)。印刷された z 表の代わりにさっと調べられます。

z スコア	P(Z ≤ z)	パーセンタイル	裾 P(Z > z)
−3.00	0.00135	0.135%	99.865%
−2.58	0.00494	0.494%	99.506%
−2.00	0.02275	2.275%	97.725%
−1.96	0.02500	2.500%	97.500%
−1.645	0.05000	5.000%	95.000%
−1.00	0.15866	15.866%	84.134%
−0.50	0.30854	30.854%	69.146%
0.00	0.50000	50.000%	50.000%
0.50	0.69146	69.146%	30.854%
1.00	0.84134	84.134%	15.866%
1.645	0.95000	95.000%	5.000%
1.96	0.97500	97.500%	2.500%
2.00	0.97725	97.725%	2.275%
2.58	0.99506	99.506%	0.494%
3.00	0.99865	99.865%	0.135%

経験則（68-95-99.7）

正規分布において、平均の±1、±2、±3 標準偏差以内に収まる値の割合。

範囲	区間	区内確率	区外確率
±1σ	μ − σ ～ μ + σ	≈ 68.27%	≈ 31.73%
±2σ	μ − 2σ ～ μ + 2σ	≈ 95.45%	≈ 4.55%
±3σ	μ − 3σ ～ μ + 3σ	≈ 99.73%	≈ 0.27%

±3σ を超える値（約 0.27%）は、品質管理やリスク分析では外れ値として扱われることがよくあります。両側 95% の厳密な区間は±1.96σ で、95% 信頼区間はここから来ています。

使い方

分布の平均 μ を入力します（標準正規分布なら 0）。
標準偏差 σ を入力します。正の数でなければなりません。
モードを選びます——ある値未満、ある値より大きい、2つの値の間。
値 x（区間モードでは下限 a と上限 b）を入力します。
計算を押すと、確率、パーセンテージ、z スコア、密度 f(x)、分かりやすい解釈が表示されます。

よくある質問

PDF と CDF の違いは何ですか？

確率密度関数 f(x) はベル曲線上の1点での高さを表します——それ自体は確率ではありません。累積分布関数 Φ(x) = P(X ≤ x) こそが、x 以下の値を観測する実際の確率であり、曲線の左側の陰影部分の面積に等しいです。

z スコアは正規分布とどう関係しますか？

z スコアは z = (x − μ) / σ によって任意の値を標準正規単位に変換します。x が平均から標準偏差いくつ分上下にあるかを示します。例えば z = 1.96 は x が μ より 1.96 標準偏差上にあることを意味し、それより先の上側裾確率は約 2.5% です。

経験則 68-95-99.7 とは何ですか？

正規分布では、約 68% の値が平均の±1σ 以内、95% が±2σ 以内、99.7% が±3σ 以内に収まります。積分せずに確率を素早く見積もるための経験則で、正規分布にのみ成り立ちます。

なぜ σ は正の値でなければならないのですか？

標準偏差はばらつきを表すため、正の実数でなければなりません。σ = 0 はすべての観測値が平均と完全に等しいことを意味し、分布が1点に潰れます。σ < 0 は数学的に無意味です。計算機はゼロや負の値を拒否します。

このツールは逆算——与えられたパーセンタイルに対する x 値——もできますか？

いいえ。このツールは次の 3 つのモードのみに対応します。以下 P(X ≤ x)、超過 P(X ≥ x)、区間 P(a ≤ X ≤ b) です。逆算（与えられた確率に対する x）には対応していません。

標準正規分布にも使えますか？

もちろんです。μ = 0、σ = 1 に設定すれば、すべての結果が標準正規形になり、z 表と一致します。ツールは z スコア、密度、累積確率も表示します。

ヒントとアドバイス

z スコア ±1.96 は分布の中央 95% に対応します——ここからおなじみの 95% 信頼区間が生まれます。P(X ≤ μ) は常にちょうど 0.5 になります。正規曲線は平均について対称だからです。σ が大きいと曲線は平たく広がり、裾の確率はゆっくりと減ります。σ が小さいと、確率は μ の周りに鋭く集中します。σ は必ず正の値にしてください——ゼロや負の標準偏差は無効で、ツールは拒否します。区間モードでは、下限 a が上限 b を超えないようにしてください。すべての計算はブラウザー内で完結します。

出典と参考文献

Abramowitz M, Stegun IA. Handbook of Mathematical Functions, 公式 7.1.26 — 誤差関数の近似。dlmf.nist.gov。
NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods — 正規分布。itl.nist.gov。
Wikipedia. 正規分布。ja.wikipedia.org。

最終確認：2026年8月。

制限事項

このツールは教育および分析の目的でガウス確率を計算します。対象データが実際に正規分布に従っていることを前提としています——実データは歪んでいたり、裾が重かったりすることがよくあります。

このツールが考慮しないもの：

非正規データ：身長、測定誤差などは近似正規分布になることが多いですが、所得、反応時間、多くの金融リターンはそうではありません。確率に頼る前に分布の前提を必ず検証してください。
数値精度：誤差関数の近似は約 1×10⁻⁷ の精度で、日常用途には十分ですが、暗号や高精度研究には向きません。
離散データ：正規分布は連続型です。カウントや割合には二項分布やポアソン分布の方が適している場合があります。

重要な意思決定には、専用の統計ソフトで結果を検証し、資格のある統計家に相談してください。