🔔 正态分布计算器
正态分布计算器是一款免费的统计工具，用来计算钟型正态分布的概率。输入均值 μ 与标准差 σ，再选择模式——小于某值 P(X ≤ x)、大于某值 P(X ≥ x)、介于两值之间 P(a ≤ X ≤ b)。工具会返回概率、对应的 z 分数、概率密度 f(x)，以及通俗解读。所有计算都在你的浏览器中本地运行，数据不上传、免注册。学生与分析员用它来做作业、质量控制、风险评估，以及任何需要高斯概率的工作。
计算任意正态分布的累积概率、尾部概率、区间概率。输入 μ 与 σ 即可，全程在本地离线执行。
这是什么工具？
正态分布——又称高斯分布或钟型曲线——是统计学中最重要的连续概率分布。它对称的钟型曲线完全由两个参数决定：均值 μ 决定曲线的中心位置，标准差 σ 决定曲线的宽窄。著名的 68-95-99.7 法则指出，大约 68% 的观测值落在均值加减一个标准差内，95% 在两个标准差内，99.7% 在三个标准差内。
因为许多自然与社会现象都近似正态分布——身高、血压、测量误差、考试成绩、制造公差——正态分布可谓是推断统计的核心。六西格玛质量计划、IQ 量尺、金融风险模型与置信区间，都以它为基础。
这款计算器让你瞬间获得这些概率。选好模式，输入 μ、σ 与数值，它就会返回概率密度 f(x)、累积概率与对应的 z 分数。所有计算都在浏览器中完成——数据不上传。需要延伸分析时，可试试 z 分数计算器、标准差计算器 与 置信区间计算器。运作原理
计算器先将你输入的数值换算成 z 分数，再求标准正态分布的累积分布函数（CDF）。
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−(x − μ)² / (2σ²))
P(X ≤ x) = Φ(z) = (1/√(2π)) · ∫−∞z e^(−t²/2) dt，其中 z = (x − μ) / σ
z 分数对照百分位表
常见 z 分数对应的累积概率 Φ(z) = P(Z ≤ z)。可用来取代印刷版 z 表快速查询。
| z 分数 | P(Z ≤ z) | 百分位数 | 右尾 P(Z > z) |
|---|---|---|---|
| −3.00 | 0.00135 | 0.135% | 99.865% |
| −2.58 | 0.00494 | 0.494% | 99.506% |
| −2.00 | 0.02275 | 2.275% | 97.725% |
| −1.96 | 0.02500 | 2.500% | 97.500% |
| −1.645 | 0.05000 | 5.000% | 95.000% |
| −1.00 | 0.15866 | 15.866% | 84.134% |
| −0.50 | 0.30854 | 30.854% | 69.146% |
| 0.00 | 0.50000 | 50.000% | 50.000% |
| 0.50 | 0.69146 | 69.146% | 30.854% |
| 1.00 | 0.84134 | 84.134% | 15.866% |
| 1.645 | 0.95000 | 95.000% | 5.000% |
| 1.96 | 0.97500 | 97.500% | 2.500% |
| 2.00 | 0.97725 | 97.725% | 2.275% |
| 2.58 | 0.99506 | 99.506% | 0.494% |
| 3.00 | 0.99865 | 99.865% | 0.135% |
经验法则（68-95-99.7）
正态分布中，落在均值加减 1、2、3 个标准差范围内的百分比。
| 范围 | 区间 | 区间内概率 | 区间外概率 |
|---|---|---|---|
| ±1σ | μ − σ 到 μ + σ | ≈ 68.27% | ≈ 31.73% |
| ±2σ | μ − 2σ 到 μ + 2σ | ≈ 95.45% | ≈ 4.55% |
| ±3σ | μ − 3σ 到 μ + 3σ | ≈ 99.73% | ≈ 0.27% |
超出 ±3σ 的值（约 0.27%）在质量控制与风险分析中常被视为异常值。双侧 95% 的精确区间是 ±1.96σ，这就是 95% 置信区间的来源。
使用方法
- 输入分布的均值 μ（标准正态请填 0）。
- 输入标准差 σ，必须是正数。
- 选择模式——小于某值、大于某值，或介于两值之间。
- 输入数值 x（区间模式则输入下界 a 与上界 b）。
- 按下计算，读取概率、百分比、z 分数、密度 f(x) 与通俗解读。
常见问题
PDF 和 CDF 有什么不同？
概率密度函数 f(x) 是钟型曲线在单一点的高度——它本身不是概率。累积分布函数 Φ(x) = P(X ≤ x) 才是观测值落在 x 及以下范围的实际概率，等于曲线下方从左到 x 的阴影面积。
z 分数和正态分布有什么关系？
z 分数通过 z = (x − μ) / σ 将任意数值换算为标准正态单位。它表示 x 距离均值几个标准差。例如 z = 1.96 代表 x 高于 μ 1.96 个标准差，其右侧尾部概率约为 2.5%。
什么是经验法则 68-95-99.7？
在正态分布中，约 68% 的值落在均值加减 1 个标准差内，95% 在 2 个标准差内，99.7% 在 3 个标准差内。这是不必积分就能快速估计概率的法则，且只适用于正态分布。
为什么 σ 必须是正值？
标准差衡量的是离散程度，必须是正实数。σ = 0 表示所有观测值都等于均值，整个分布塌缩成一点；σ < 0 在数学上没有意义。计算机会拒绝零或负值。
这个工具可以反推——给定百分位数求 x 吗？
不可以。本工具只支持三种模式：小于 P(X ≤ x)、大于 P(X ≥ x)、区间 P(a ≤ X ≤ b)。不提供反推（给定概率求 x）的功能。
计算机可以用于标准正态分布吗？
当然可以。把 μ 设为 0、σ 设为 1，所有结果都会是标准正态形式，与 z 表给的值一致。工具仍会显示 z 分数、密度与累积概率。
技巧与建议
z 分数 ±1.96 对应分布中间 95% 的范围——这正是常见 95% 置信区间的由来。请记住 P(X ≤ μ) 永远等于 0.5，因为正态曲线对均值对称。当 σ 很大时，曲线又扁又宽，尾部概率下降得很慢；σ 很小时，概率会集中在 μ 附近。务必确认 σ 为正值——零或负的标准差不合法，工具会拒绝。使用区间模式时，下界 a 不可超过上界 b。所有计算都在你的浏览器中进行。
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来源与参考
- Abramowitz M, Stegun IA. Handbook of Mathematical Functions, 公式 7.1.26 — 误差函数近似。dlmf.nist.gov。
- NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods — 正态分布。itl.nist.gov。
- 维基百科。正态分布。zh.wikipedia.org。
最后审阅：2026 年 8 月。
限制与免责声明
本工具计算高斯概率，用途为教育与分析参考。它假设你的数据确实服从正态分布——实际数据往往偏态或厚尾。
本工具未涵盖的因素：
- 非正态数据：身高、测量误差等数量常近似正态，但收入、反应时间与许多财务报酬并非如此。依赖概率结论前，务必检验分布假设。
- 数值精度：误差函数近似精度约 1×10⁻⁷，足以应付日常工作，但不适用于密码学或高精度研究。
- 离散数据：正态分布为连续型。对计数或比例，二项或泊松模型可能更合适。
关键决策请以专业统计软件验证，并咨询合格统计学家。