🔔 Normalverteilungsrechner

Kumulierte Wahrscheinlichkeit Φ(z) = P(Z ≤ z) für gängige z-Werte. Verwenden Sie sie als schnelle Nachschlagetabelle statt einer gedruckten z-Tabelle.

Bei einer Normalverteilung der Anteil der Werte innerhalb von ±1, ±2 und ±3 Standardabweichungen vom Mittelwert.

Werte jenseits von ±3σ (etwa 0,27%) werden in Qualitätskontrolle und Risikoanalyse oft als Ausreißer behandelt. Das genaue zweiseitige 95%-Intervall ist ±1,96σ, woraus das 95%-Konfidenzintervall stammt.

1. Geben Sie den Mittelwert μ Ihrer Verteilung ein (0 für die Standardnormalverteilung).
2. Geben Sie die Standardabweichung σ ein. Sie muss eine positive Zahl sein.
3. Wählen Sie einen Modus —unter einem Wert, über einem Wert oder zwischen zwei Werten.
4. Tippen Sie den Wert x (oder die Grenzen a und b für den Intervallmodus) ein.
5. Drücken Sie Berechnen. Lesen Sie die Wahrscheinlichkeit, den Prozentwert, den z-Wert, die Dichte f(x) und die Interpretation.

Was ist der Unterschied zwischen PDF und CDF?

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) gibt die Höhe der Glockenkurve an einem einzelnen Punkt an —sie ist selbst keine Wahrscheinlichkeit. Die Verteilungsfunktion Φ(x) = P(X ≤ x) ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, einen Wert bis einschließlich x zu beobachten, und entspricht der schattierten Fläche unter der Kurve links von x.

Wie hängt der z-Wert mit der Normalverteilung zusammen?

Der z-Wert wandelt jeden Wert über z = (x − μ) / σ in Standardnormal-Einheiten um. Er gibt an, wie viele Standardabweichungen x über oder unter dem Mittelwert liegt. Zum Beispiel bedeutet z = 1,96, dass x 1,96 Standardabweichungen über μ liegt, und die Endenwahrscheinlichkeit dahinter beträgt etwa 2,5%.

Was ist die empirische 68-95-99,7-Regel?

Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68% der Werte innerhalb von ±1σ des Mittelwerts, 95% innerhalb von ±2σ und 99,7% innerhalb von ±3σ. Es ist eine schnelle Faustregel zum Schätzen von Wahrscheinlichkeiten ohne Integration und gilt nur für die Normalverteilung.

Warum muss σ positiv sein?

Die Standardabweichung misst die Streuung, muss also eine positive reelle Zahl sein. σ = 0 würde bedeuten, dass alle Beobachtungen exakt dem Mittelwert entsprechen, wodurch die Verteilung auf einen einzigen Punkt kollabiert; σ < 0 ist mathematisch sinnlos. Der Rechner lehnt null oder negative Werte ab.

Kann dieses Werkzeug die Umkehrung finden —den x-Wert für ein gegebenes Perzentil?

{'Nein — das Werkzeug unterstützt nur drei Modi': 'kleiner als P(X ≤ x), größer als P(X ≥ x) und zwischen P(a ≤ X ≤ b). Es berechnet keine Umkehrung (den x-Wert für eine gegebene Wahrscheinlichkeit).'}

Funktioniert der Rechner auch für die Standardnormalverteilung?

Absolut. Setzen Sie μ = 0 und σ = 1, und alle Ergebnisse liegen in Standardnormalform, identisch mit einer z-Tabelle. Das Werkzeug zeigt weiterhin den z-Wert, die Dichte und die kumulierte Wahrscheinlichkeit an.

Ein z-Wert von ±1,96 entspricht den mittleren 95% der Verteilung —daher kommt das bekannte 95%-Konfidenzintervall. Denken Sie daran, dass P(X ≤ μ) immer exakt 0,5 ist, da die Normalverteilungskurve symmetrisch um den Mittelwert ist. Wenn σ sehr groß ist, wird die Kurve flach und breit, sodass die Endenwahrscheinlichkeiten langsam sinken; wenn σ klein ist, konzentriert sich die Wahrscheinlichkeit scharf um μ. Prüfen Sie immer, dass σ positiv ist —eine Standardabweichung von null oder negativ ist ungültig und wird vom Werkzeug abgelehnt. Stellen Sie im Intervallmodus sicher, dass die untere Grenze a die obere Grenze b nicht überschreitet. Alle Berechnungen bleiben in Ihrem Browser.