🔔 정규분포 계산기
정규분포 계산기는 종 모양의 정규분포 확률을 계산하는 무료 통계 도구입니다. 평균 μ와 표준편차 σ를 입력하고 모드(어떤 값 이하 P(X ≤ x), 어떤 값 이상 P(X ≥ x), 두 값 사이 P(a ≤ X ≤ b))를 선택하면 확률, 해당하는 z 점수, 확률 밀도 f(x), 알기 쉬운 해석을 반환합니다. 모든 계산은 브라우저에서 로컬로 실행되어 데이터가 업로드되지 않고 계정도 필요 없습니다. 학생과 분석가는 과제, 품질 관리, 위험 평가 등 가우스 확률이 필요한 모든 작업에 사용합니다.
임의의 정규분포에 대해 누적 확률, 꼬리 확률, 구간 확률을 계산합니다. μ와 σ만 입력하면 완전히 오프라인으로 작동합니다.
이 도구란 무엇인가요?
정규분포——가우스 분포 또는 종형 곡선이라고도 합니다——는 통계학에서 가장 중요한 연속 확률 분포입니다. 좌우 대칭인 종형 곡선은 곡선의 중심을 정하는 평균 μ와 퍼짐을 결정하는 표준편차 σ, 두 매개변수로 완전히 설명됩니다. 유명한 68-95-99.7 규칙에 따르면 관측값의 약 68%가 평균에서 ±1표준편차 이내에, 95%가 ±2표준편차 이내에, 99.7%가 ±3표준편차 이내에 들어옵니다.
키, 혈압, 측정 오차, 시험 점수, 제조 공차 등 자연현상과 사회현상 상당수가 정규분포에 가까우므로, 정규분포는 추론통계의 핵심입니다. 식시그마 품질 프로그램, IQ 척도, 금융 위험 모델, 신뢰구간이 모두 여기에 바탕을 둡니다.
이 계산기는 그러한 확률을 순식간에 구해줍니다. 모드를 선택하고 μ, σ, 값을 입력하면 확률 밀도 f(x), 누적 확률, 해당하는 z 점수를 반환합니다. 모든 처리는 브라우저에서 이루어지며——데이터는 업로드되지 않습니다. 관련 분석에는 z 점수 계산기, 표준편차 계산기, 신뢰구간 계산기를 사용해 보세요.작동 방식
계산기는 입력값을 z 점수로 변환한 뒤 표준정규분포의 누적 분포 함수(CDF)를 평가합니다.
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−(x − μ)² / (2σ²))
P(X ≤ x) = Φ(z) = (1/√(2π)) · ∫−∞z e^(−t²/2) dt, 여기서 z = (x − μ) / σ
z 점수에서 백분위수로 표
일반적인 z 점수에 대한 누적 확률 Φ(z) = P(Z ≤ z). 인쇄된 z 표 대신 빠르게 조회할 수 있습니다.
| z 점수 | P(Z ≤ z) | 백분위수 | 꼬리 P(Z > z) |
|---|---|---|---|
| −3.00 | 0.00135 | 0.135% | 99.865% |
| −2.58 | 0.00494 | 0.494% | 99.506% |
| −2.00 | 0.02275 | 2.275% | 97.725% |
| −1.96 | 0.02500 | 2.500% | 97.500% |
| −1.645 | 0.05000 | 5.000% | 95.000% |
| −1.00 | 0.15866 | 15.866% | 84.134% |
| −0.50 | 0.30854 | 30.854% | 69.146% |
| 0.00 | 0.50000 | 50.000% | 50.000% |
| 0.50 | 0.69146 | 69.146% | 30.854% |
| 1.00 | 0.84134 | 84.134% | 15.866% |
| 1.645 | 0.95000 | 95.000% | 5.000% |
| 1.96 | 0.97500 | 97.500% | 2.500% |
| 2.00 | 0.97725 | 97.725% | 2.275% |
| 2.58 | 0.99506 | 99.506% | 0.494% |
| 3.00 | 0.99865 | 99.865% | 0.135% |
경험칙 (68-95-99.7)
정규분포에서 평균 ±1, ±2, ±3 표준편차 이내에 들어오는 값의 비율.
| 범위 | 구간 | 구간 내 확률 | 구간 외 확률 |
|---|---|---|---|
| ±1σ | μ − σ ~ μ + σ | ≈ 68.27% | ≈ 31.73% |
| ±2σ | μ − 2σ ~ μ + 2σ | ≈ 95.45% | ≈ 4.55% |
| ±3σ | μ − 3σ ~ μ + 3σ | ≈ 99.73% | ≈ 0.27% |
±3σ를 넘는 값(약 0.27%)은 품질 관리와 위험 분석에서 이상치로 취급되는 경우가 많습니다. 양측 95%의 정확한 구간은 ±1.96σ이며, 95% 신뢰구간은 여기서 비롯됩니다.
사용 방법
- 분포의 평균 μ를 입력합니다(표준정규분포면 0).
- 표준편차 σ를 입력합니다. 반드시 양수여야 합니다.
- 모드를 선택합니다——어떤 값 이하, 어떤 값 이상, 두 값 사이.
- 값 x를 입력합니다(구간 모드에서는 하한 a와 상한 b).
- 계산을 누르면 확률, 백분율, z 점수, 밀도 f(x), 알기 쉬운 해석이 표시됩니다.
자주 묻는 질문
PDF와 CDF의 차이는 무엇인가요?
확률 밀도 함수 f(x)는 종형 곡선 위 한 점의 높이를 나타냅니다——그 자체는 확률이 아닙니다. 누적 분포 함수 Φ(x) = P(X ≤ x)가 x 이하의 값을 관측할 실제 확률이며, 곡선 아래 x 왼쪽의 음영 면적과 같습니다.
z 점수는 정규분포와 어떤 관계가 있나요?
z 점수는 z = (x − μ) / σ로 임의의 값을 표준정규 단위로 변환합니다. x가 평균에서 표준편차 몇 개만큼 위아래에 있는지를 나타냅니다. 가령 z = 1.96은 x가 μ보다 1.96 표준편차 위에 있다는 뜻이며, 그 너머의 윗꼬리 확률은 약 2.5%입니다.
경험칙 68-95-99.7이란 무엇인가요?
정규분포에서 값의 약 68%가 평균 ±1σ 이내에, 95%가 ±2σ 이내에, 99.7%가 ±3σ 이내에 들어옵니다. 적분 없이 확률을 빠르게 추정하는 경험칙으로, 정규분포에만 성립합니다.
왜 σ는 양수여야 하나요?
표준편차는 퍼짐을 측정하므로 양의 실수여야 합니다. σ = 0은 모든 관측값이 평균과 정확히 같아 분포가 한 점으로 무너진다는 뜻이며, σ < 0은 수학적으로 의미가 없습니다. 계산기는 0이나 음수를 거부합니다.
이 도구로 역산, 즉 주어진 백분위수에 대한 x 값을 구할 수 있나요?
아니요. 이 도구는 세 가지 모드만 지원합니다. 미만 P(X ≤ x), 초과 P(X ≥ x), 구간 P(a ≤ X ≤ b)입니다. 역산(주어진 확률에 대한 x)은 지원하지 않습니다.
표준정규분포에도 사용할 수 있나요?
물론입니다. μ = 0, σ = 1로 설정하면 모든 결과가 표준정규 형태가 되어 z 표와 동일합니다. 도구는 z 점수, 밀도, 누적 확률도 계속 표시합니다.
팁과 조언
z 점수 ±1.96은 분포의 중앙 95%에 해당합니다——익숙한 95% 신뢰구간이 바로 여기서 나옵니다. P(X ≤ μ)는 항상 정확히 0.5가 됩니다. 정규 곡선이 평균에 대해 대칭이기 때문입니다. σ가 크면 곡선이 납작하고 넓어져 꼬리 확률이 천천히 줄어듭니다. σ가 작으면 확률이 μ 주변에 날카롭게 집중됩니다. σ는 반드시 양수여야 합니다——0이나 음수 표준편차는 유효하지 않아 도구가 거부합니다. 구간 모드에서는 하한 a가 상한 b를 넘지 않도록 하세요. 모든 계산은 브라우저 안에서 이루어집니다.
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출처 및 참고 자료
- Abramowitz M, Stegun IA. Handbook of Mathematical Functions, 공식 7.1.26 — 오차 함수 근사. dlmf.nist.gov.
- NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods — 정규분포. itl.nist.gov.
- Wikipedia. 정규분포. ko.wikipedia.org.
최종 검토: 2026년 8월.
제한 사항
이 도구는 교육 및 분석 목적으로 가우스 확률을 계산합니다. 데이터가 실제로 정규분포를 따른다고 가정합니다——실제 데이터는 왜곡되거나 꼬리가 두꺼운 경우가 많습니다.
이 도구가 고려하지 않는 사항:
- 비정규 데이터: 키, 측정 오차 등은 대개 근사 정규분포를 따르지만 소득, 반응 시간, 많은 금융 수익률은 그렇지 않습니다. 확률에 의존하기 전에 분포 가정을 항상 확인하세요.
- 수치 정밀도: 오차 함수 근사는 약 1×10⁻⁷까지 정확하여 일상 용도에 충분하지만 암호학이나 고정밀 연구에는 적합하지 않습니다.
- 이산 데이터: 정규분포는 연속형입니다. 건수나 비율에는 이항 또는 포아송 모델이 더 적합할 수 있습니다.
중요한 의사결정에는 전용 통계 소프트웨어로 결과를 검증하고 자격을 갖춘 통계학자에게 문의하세요.