🎯 信賴區間計算機

信賴區間（CI）是由樣本資料計算出的一段數值範圍，在選定的信賴水準下，很可能包含真實的母體參數（例如平均數 μ）。不同於只給出單一估計值的樣本平均數 x̄，信賴區間提供了參數可能落點的下限與上限。例如 95% 信賴區間為 [48.2, 51.8]，代表如果重複抽樣多次，約有 95% 的區間會涵蓋真實母體平均數。這個概念與常態分配及Z 分數密切相關，因為區間寬度取決於資料的離散程度與您想要的信心高低。

主要有兩種公式。當母體標準差 σ 已知時，區間使用 Z 臨界值，形式為 x̄ ± Z* × σ/√n。當 σ 未知（現實中最常見的情況），則改用樣本標準差 s 與自由度為 n−1 的 t 臨界值：x̄ ± t* × s/√n。t 分配在小樣本時比常態曲線更寬，會產生略為保守的區間。隨著樣本數增加，t 會趨近於 Z。本計算機可自動處理兩種情況，並可與標準差計算機及p 值計算機搭配使用。

本信賴區間計算機依據母體標準差是否已知，採用兩種經典統計公式之一。

Z 區間（σ 已知）

當您知道真實的母體標準差 σ 時使用。臨界值 Z* 來自標準常態分配：90% 為 1.645、95% 為 1.96、99% 為 2.576。

t 區間（σ 未知）

當 σ 未知而需以樣本標準差 s 估計時使用。臨界值 t* 來自自由度為 n − 1 的 t 分配。當 n 夠大時，t* 會趨近 Z*。計算機會自動根據您的樣本數與信賴水準查詢正確的 t* 值。

抽樣誤差

下限等於 x̄ − ME，上限等於 x̄ + ME。樣本數越大，ME 越小；信賴水準越高，ME 越大，因為臨界值會增加。

隨著自由度增加，t 臨界值會趨近 Z 值。當 df 大於 30 時，差異在大多數實務工作中可以忽略。

以下範例展示樣本數、標準差與信賴水準如何共同決定抽樣誤差（ME）。

ME = 臨界值 × sd / √n。最後一列顯示大樣本如何在 99% 信賴下仍保持窄區間。

1. 輸入樣本平均數（x̄），例如 50。這是您抽樣資料的平均值。
2. 輸入標準差。若 σ 已知，請輸入母體值；否則輸入樣本標準差 s。
3. 輸入樣本數（n），必須大於 1；樣本數越大，區間越窄。
4. 選擇信賴水準——90%、95% 或 99%。接著選擇 σ 是否已知（Z 法）或未知（t 法）。
5. 按下計算，即可查看下限、上限、抽樣誤差與所使用的臨界值。

什麼時候該用 Z 區間，什麼時候該用 t 區間？

當您從先前研究或普查中知道真實的母體標準差 σ 時，使用 Z 區間。當 σ 未知而必須以樣本標準差 s 估計時，使用 t 區間。當樣本數大於約 30 時，兩種方法結果幾乎相同，因為 t 分配會收斂到常態分配。

95% 信賴區間實際上代表什麼意思？

它代表如果您重複抽樣程序多次，每次都建立一個信賴區間，則約有 95% 的區間會涵蓋真實的母體平均數。它並不代表您算出的這個特定區間有 95% 的機率包含參數，因為參數是固定的，並非隨機。

為什麼 99% 信賴的區間比 90% 寬？

較高的信賴水準需要較大的臨界值（2.576 相對於 1.645），這會增加抽樣誤差，進而拓寬區間。您是以精確度換取確定性。若要在高信賴水準下保持區間窄，就需要更大的樣本數。

樣本數如何影響信賴區間？

抽樣誤差除以 √n，因此將樣本數增加四倍只會使區間寬度減半。這種邊際遞減表示非常精確的估計需要呈指數級成長的資料，這也是為什麼大多數民調使用 1,000 到 2,000 的樣本，而非數萬個。

這個計算機可以處理 90、95、99% 以外的信賴水準嗎？

本版本支援最常見的三種水準。若要使用自訂水準，您需要該機率對應的精確 Z 或 t 臨界值，這超出了這個簡化工具的範圍。大多數已發表的研究都使用這三種標準水準之一。

如果我的樣本數非常小怎麼辦？

當 n 小於 10 且 σ 未知時，t 分配會產生非常寬的區間，因為可用來估計變異的資訊很少。這類區間可能太寬而不實用。建議收集更多資料，或在報告結果時同時呈現其寬大的誤差範圍，讓讀者了解不確定性。

將95%設為預設信賴水準——這是科學研究中最通用的慣例。只有在錯誤結論代價極高時才使用 99%，因為較寬的區間精確度較低。若樣本數小於 30 且 σ 未知，t 分配會明顯拓寬區間，因此小樣本務必選擇 t 方法。請記住，信賴區間不等於參數落在區間內的機率；它描述的是此方法在長期重複施作下的成功率。所有資料皆保留在您的瀏覽器中。