🔌 Sallen-Key 濾波器計算機
計算 Sallen-Key 主動濾波器的電容與電阻值，支援單位增益二階低通與高通配置。輸入截止頻率、電阻值與 Q 因子，即可獲得精確的元件參數。
這是什麼工具？
Sallen-Key 拓撲是最受歡迎的主動濾波器架構之一，由 R.P. Sallen 和 E.L. Key 於 1955 年在 MIT 林肯實驗室提出。與 Butterworth 或 Chebyshev 等需要電感器的被動 LC 濾波器不同，Sallen-Key 濾波器只需使用電阻、電容和運算放大器（op-amp）。這使得它在音訊和儀表應用中特別具吸引力——在這些場合中，電感器體積大、成本高或不切實際，尤其是在低頻段，所需的電感值會非常龐大。
最常見的變體是**單位增益** Sallen-Key 濾波器，其中運算放大器接成電壓隨耦器（輸出直接連接到反相輸入）。這簡化了設計，消除了設定增益電阻的需求，並提供了優異的阻抗緩衝（高輸入阻抗、低輸出阻抗）。
主動濾波器的一個關鍵優勢是 Q 因子（品質因子）可以獨立於截止頻率，透過選擇元件值的比例來設定。對於**巴特沃斯響應**，Q = 0.707（阻尼比 ζ = 1/(2Q) ≈ 0.707）。對於貝塞爾響應，Q = 0.577。較高的 Q 值會在截止頻率附近產生峰值，而較低的 Q 值則產生更平緩的過渡。
這個計算機處理**低通**和**高通**兩種單位增益 Sallen-Key 配置。對於低通設計，你指定 R1 = R2 = R 和所需的 Q，計算機會計算出 C1 和 C2。對於高通設計，你指定 C1 = C2 = C，計算機會計算出 R3 和 R4。在兩種情況下，截止頻率 fc 由 RC 時間常數決定，而 Q 則由兩個電容（或高通時的電阻）的比值決定。
如需被動 LC 替代方案，請參見我們的巴特沃斯濾波器計算機和切比雪夫濾波器計算機。如需運算放大器功率需求估算，歐姆定律計算機可以幫助確定供電電壓需求。運作原理
Sallen-Key 濾波器是一種二階主動 RC 濾波器，其轉移函數有兩個由 RC 網路設定的極點。單位增益低通配置使用兩個電阻（R1、R2）和兩個電容（C1、C2）加上一個運算放大器電壓隨耦器。
**關鍵公式（單位增益低通）：**
- 截止頻率：fc = 1 / (2π × √(R1 × R2 × C1 × C2))
- 品質因子：Q = √(R1 × R2 × C1 × C2) / (C2 × (R1 + R2))
- 阻尼比：ζ = 1 / (2Q)
當我們設定 R1 = R2 = R 時，公式簡化為：
- fc = 1 / (2π × R × √(C1 × C2))
- Q = √(C1 × C2) / (2 × C2) = ½ × √(C1 / C2)
在已知 fc、R 和 Q 的情況下求解 C1 和 C2：
- C2 = 1 / (2 × Q × 2π × fc × R)
- C1 = 2 × Q² × C2 = Q / (π × fc × R)
下表顯示了 Q 因子、阻尼比和濾波器響應類型之間的關係：
| Q 因子 | 阻尼比 ζ | 濾波器響應 | 特性 |
|---|---|---|---|
| 0.500 | 1.000 | 過阻尼（貝塞爾） | 最慢滾降，無過衝，最佳步階響應 |
| 0.577 | 0.866 | 貝塞爾 | 相位最線性，優異的暫態響應 |
| 0.707 | 0.707 | 巴特沃斯 | 通帶最平坦，最常使用 |
| 1.000 | 0.500 | 切比雪夫（輕微） | 輕微峰值（~1.25 dB），更陡峭的滾降 |
| 1.500 | 0.333 | 峰化 | 顯著峰值（~6 dB），步階響應有振鈴 |
| 2.000 | 0.250 | 高峰化 | fc 附近強烈諧振，暫態響應差 |
對於高通 Sallen-Key（單位增益，C1 = C2 = C），電阻值為：
- R3 = 1 / (2 × Q × 2π × fc × C)
- R4 = Q / (π × fc × C)
下表顯示了 R = 10 kΩ 時常見巴特沃斯（Q = 0.707）低通濾波器的預計算電容值：
| fc | C2 (F) | C1 (F) | C1/C2 比值 |
|---|---|---|---|
| 1 kHz | 11.25 nF | 22.50 nF | 2.000 |
| 10 kHz | 1.125 nF | 2.250 nF | 2.000 |
| 100 kHz | 112.5 pF | 225.0 pF | 2.000 |
| 1 MHz | 11.25 pF | 22.50 pF | 2.000 |
注意：C1/C2 比值恰好為 2.0 是 R1 = R2 時巴特沃斯 Q = 0.707 設計的特徵。使用方法
- 使用下拉選單選擇濾波器類型（低通或高通）。
- 輸入所需的截止頻率（fc），單位為 Hz、kHz 或 MHz。
- 低通模式：輸入電阻值（R1 = R2 = R），單位為歐姆。高通模式：輸入電容值（C1 = C2 = C），單位為法拉。
- 輸入 Q 因子（巴特沃斯為 0.707，貝塞爾為 0.577，或自訂值）。
- 按下計算按鈕，取得 C1 和 C2（低通）或 R3 和 R4（高通），以及阻尼比。
常見問題
什麼是 Sallen-Key 濾波器？它與被動 LC 濾波器有何不同？
Sallen-Key 濾波器是一種主動濾波器，使用運算放大器（op-amp）搭配電阻和電容——不需要電感器。這是相比巴特沃斯或切比雪夫等被動 LC 濾波器設計的一大優勢，特別是在低頻段（音訊範圍），電感器體積大且昂貴。運算放大器還提供阻抗緩衝，意味著濾波器不會對訊號源造成負載，且可以直接驅動後級電路。
為什麼等元件 Sallen-Key（R1=R2、C1=C2）只能得到 Q = 0.5？
當 R1 = R2 = R 且 C1 = C2 = C 時，品質因子簡化為 Q = 0.5，對應過阻尼（貝塞爾式）響應，過渡非常平緩。這不是巴特沃斯響應。要在 R1 = R2 的條件下達到巴特沃斯 Q = 0.707，需要 C1/C2 = 2（C1 是 C2 的兩倍）。本計算機會自動為你指定的任何 Q 值計算正確的 C1 和 C2 值。
我應該為 Sallen-Key 濾波器選擇什麼 Q 因子？
最常見的選擇是 Q = 0.707，用於巴特沃斯（最平坦）響應。如需更好的暫態響應（更少振鈴），使用 Q = 0.577（貝塞爾）。如需稍陡的初始滾降但可接受約 1.25 dB 的通帶峰值，Q = 1.0 也是好選擇。除非你特別想要在諧振點產生峰值，否則避免 Q 超過 1.5。阻尼比 ζ = 1/(2Q) 可以給你直覺感受：ζ = 1 為臨界阻尼，ζ < 1 為欠阻尼（有過衝），ζ > 1 為過阻尼。
這個計算機可以用於更高階的濾波器嗎？
本計算機設計單一二階 Sallen-Key 級。四階濾波器需要串聯兩級；六階則串聯三級。每一級有自己的 Q 因子——對於巴特沃斯響應，各級的 Q 值遵循特定的序列（例如四階巴特沃斯：Q1 = 0.541，Q2 = 1.306）。你需要使用不同的 Q 值操作本計算機兩次，然後將各級串聯。
我的 Sallen-Key 濾波器需要多大的運算放大器增益頻寬積？
對於單位增益 Sallen-Key 濾波器，運算放大器的 GBW 至少應為截止頻率的 100 倍，才能維持準確的濾波器響應。例如，10 kHz 濾波器需要 GBW ≥ 1 MHz 的運算放大器。常見選擇：TL072（GBW 3 MHz）用於音訊，OPA2134（8 MHz）用於高品質音訊，AD8055（>300 MHz）用於高速應用。GBW 不足會導致實際截止頻率低於設計值，並可能引入失真。
為什麼我製作的 Sallen-Key 濾波器響應與計算值不符？
多個因素可能導致偏差：元件精度（使用 1% 電阻和 5% 或更好的電容）、運算放大器非理想特性（有限的 GBW、壓擺率、輸入電容）、PCB 寄生電容和電源限制。在 100 kHz 以上，運算放大器的限制成為誤差的主要來源。務必製作原型並用網路分析儀或頻率掃描測量來驗證實際響應。如果截止頻率偏移，可以根據經驗調整元件值。
技巧與建議
製作 Sallen-Key 濾波器時，運算放大器的選擇至關重要。運算放大器必須有足夠的增益頻寬積（GBW）——經驗法則是 GBW 至少為截止頻率的 100 倍才能確保準確的響應。對於音訊濾波器（20 kHz 以下），TL072 或 NE5532 等通用運算放大器即可勝任。對於射頻或高速應用，請考慮電流回授或高速運算放大器。使用 1% 或更高精度的元件以確保可預測的 Q 和 fc。避免使用電解電容，因為其精度差且介質吸收大；薄膜電容或 C0G/NP0 陶瓷電容是首選。請記住，真實的運算放大器具備有限的輸入電容和輸出阻抗，在高頻下可能偏移濾波器響應。如需更陡的滾降，可以串聯兩個或多個二階 Sallen-Key 級——每級貢獻 40 dB/十倍頻（12 dB/八度）的衰減。
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