∫ 積分計算機
求任意多項式的不定積分（反導函數）。從最高次到常數項輸入係數，即時取得積分結果。
這是什麼工具？
積分是微分的反運算。給定函數 f(x)，不定積分 ∫f(x)dx 會產生一個新的函數 F(x)，其導數為 f(x)。積分是微積分的兩大支柱之一（與微分並列），應用遍及物理、工程、經濟與統計。曲線下的面積、由速度得出的總距離、累積成長、機率分佈，以及變力所作的功，全都與積分有關。
對多項式而言，積分遵循簡單的冪次法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C，其中 C 為積分常數。每一項獨立積分。例如 ∫(3x² + 2x + 5) dx = x³ + x² + 5x + C。常數 C 的出現是因為任意常數的導數為零，所以原函數可能加了任意常數。
這個積分計算機可處理任意次數的多項式。你從 x 的最高次到常數項依序輸入係數，它會對每一項套用冪次法則，顯示完整的反導函數。所有運算都在你的瀏覽器中本機執行。運作原理
積分的冪次法則指出，對任意項 c·xⁿ（其中 n ≠ −1），積分為 c·xⁿ⁺¹ / (n+1) + C。計算機依序處理每個係數。若你輸入係數 [a, b, c, d] 代表多項式 ax³ + bx² + cx + d，結果為 a·x⁴/4 + b·x³/3 + c·x²/2 + d·x + C。
積分常數 C 永遠會被附加，因為不定積分代表的是一個函數族，而非單一函數。在應用問題中，C 由初始條件或邊界值決定。計算機會顯示帶有 C 的一般反導函數，並在可能時化簡分數係數（例如 6x⁴/4 化簡為 3x⁴/2）。使用方法
- 從最高次到常數項依序輸入係數，以逗號分隔。
- 例如輸入 3,0,2,1 代表 3x³ + 0x² + 2x + 1。
- 點選計算以取得不定積分。
- 檢視每一項的逐步積分過程。
- 留意結果中的積分常數 C。
常見問題
什麼是積分常數 C？
常數 C 代表有無窮多個函數共用同一個導數。由於任意常數的導數均為零，將常數加到反導函數會產生另一個有效的反導函數。在現實問題中，C 由初始條件（例如時刻零的位置）決定。
這個計算機能處理三角函數或指數函數嗎？
不能。本計算機使用多項式冪次法則，僅適用於 c·xⁿ 形式的項。三角函數（∫sin x dx = −cos x + C）、指數（∫e^x dx = e^x + C）以及 1/x（∫(1/x) dx = ln|x| + C）需要不同的法則，本工具不涵蓋。
不定積分與定積分有何不同？
不定積分給你一個一般函數（反導函數）並附帶 +C。定積分 ∫[a,b] f(x)dx 在兩個界限上計算反導函數的值並相減，得到一個數字，代表 x=a 到 x=b 之間曲線下的有號面積。本計算機計算的是不定積分。
為什麼 x⁻¹ 無法用冪次法則積分？
冪次法則給出 xⁿ⁺¹/(n+1)，但當 n = −1 時分母變為零，這是未定義的。此時 ∫(1/x) dx = ln|x| + C。這是一個需要對數積分的特殊情況，本多項式計算機不處理。
技巧與建議
對多項式積分時，請分別追蹤每一項，永遠將指數加 1 並將係數除以新指數。常見的錯誤是忘記除：∫x² dx 是 x³/3，而不是 x³。另一個常見錯誤是忘記不定積分中的積分常數 C。若你遇到定積分問題，先以本工具求出反導函數，再代入上下限並相減：F(b) − F(a)。常數 C 在定積分中會相互抵消，因此那裡不需要 C。驗算時可將結果微分：應得到原多項式。若導數不符，請重新檢查每一項。在物理中，積分將速率轉換為總量：對速度積分得到位移、對功率積分得到能量、對力（對距離）積分得到作功。
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