∫ 积分计算器
求任意多项式的不定积分（反导函数）。从最高次到常数项输入系数，即时取得积分结果。
这是什么工具？
积分是微分的反运算。给定函数 f(x)，不定积分 ∫f(x)dx 会产生一个新的函数 F(x)，其导数为 f(x)。积分是微积分的两大支柱之一（与微分并列），应用遍及物理、工程、经济与统计。曲线下的面积、由速度得出的总距离、累积成长、概率分布，以及变力所作的功，全都与积分有关。
对多项式而言，积分遵循简单的幂次法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C，其中 C 为积分常数。每一项独立积分。例如 ∫(3x² + 2x + 5) dx = x³ + x² + 5x + C。常数 C 的出现是因为任意常数的导数为零，所以原函数可能加了任意常数。
这个积分计算器可处理任意次数的多项式。你从 x 的最高次到常数项依序输入系数，它会对每一项套用幂次法则，显示完整的反导函数。所有运算都在你的浏览器中本地执行。运作原理
积分的幂次法则指出，对任意项 c·xⁿ（其中 n ≠ −1），积分为 c·xⁿ⁺¹ / (n+1) + C。计算器依序处理每个系数。若你输入系数 [a, b, c, d] 代表多项式 ax³ + bx² + cx + d，结果为 a·x⁴/4 + b·x³/3 + c·x²/2 + d·x + C。
积分常数 C 永远会被附加，因为不定积分代表的是一个函数族，而非单一函数。在应用问题中，C 由初始条件或边界值决定。计算器会显示带有 C 的一般反导函数，并在可能时化简分数系数（例如 6x⁴/4 化简为 3x⁴/2）。使用方法
- 从最高次到常数项依序输入系数，以逗号分隔。
- 例如输入 3,0,2,1 代表 3x³ + 0x² + 2x + 1。
- 点击计算以取得不定积分。
- 查看每一项的逐步积分过程。
- 留意结果中的积分常数 C。
常见问题
什么是积分常数 C？
常数 C 代表有无穷多个函数共用同一个导数。由于任意常数的导数均为零，将常数加到反导函数会产生另一个有效的反导函数。在现实问题中，C 由初始条件（例如时刻零的位置）决定。
这个计算器能处理三角函数或指数函数吗？
不能。本计算器使用多项式幂次法则，仅适用于 c·xⁿ 形式的项。三角函数（∫sin x dx = −cos x + C）、指数（∫e^x dx = e^x + C）以及 1/x（∫(1/x) dx = ln|x| + C）需要不同的法则，本工具不涵盖。
不定积分与定积分有何不同？
不定积分给你一个一般函数（反导函数）并附带 +C。定积分 ∫[a,b] f(x)dx 在两个界限上计算反导函数的值并相减，得到一个数字，代表 x=a 到 x=b 之间曲线下的有号面积。本计算器计算的是不定积分。
为什么 x⁻¹ 无法用幂次法则积分？
幂次法则给出 xⁿ⁺¹/(n+1)，但当 n = −1 时分母变为零，这是未定义的。此时 ∫(1/x) dx = ln|x| + C。这是一个需要对数积分的特殊情况，本多项式计算器不处理。
技巧与建议
对多项式积分时，请分别追踪每一项，永远将指数加 1 并将系数除以新指数。常见的错误是忘记除：∫x² dx 是 x³/3，而不是 x³。另一个常见错误是忘记不定积分中的积分常数 C。若你遇到定积分问题，先以本工具求出反导函数，再代入上下限并相减：F(b) − F(a)。常数 C 在定积分中会相互抵消，因此那里不需要 C。验算时可将结果微分：应得到原多项式。若导数不符，请重新检查每一项。在物理中，积分将速率转换为总量：对速度积分得到位移、对功率积分得到能量、对力（对距离）积分得到作功。
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