∫ Integralrechner
Finden Sie das unbestimmte Integral (die Stammfunktion) jedes Polynoms. Geben Sie die Koeffizienten vom höchsten Grad bis zum konstanten Glied ein und erhalten Sie sofort das integrierte Ergebnis.
Was ist dieses Werkzeug?
Integration ist der umgekehrte Prozess der Differentiation. Zu einer gegebenen Funktion f(x) erzeugt das unbestimmte Integral ∫f(x)dx eine neue Funktion F(x), deren Ableitung f(x) ist. Integration ist eine der zwei Säulen der Analysis (neben der Differentiation) und findet Anwendungen in Physik, Ingenieurwissenschaften, Wirtschaft und Statistik. Flächen unter Kurven, die gesamte zurückgelegte Strecke aus der Geschwindigkeit, angesammeltes Wachstum, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die von einer veränderlichen Kraft geleistete Arbeit basieren alle auf Integralen.
Für Polynome folgt die Integration einer einfachen Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C, wobei C die Integrationskonstante ist. Jedes Glied wird unabhängig integriert. Zum Beispiel: ∫(3x² + 2x + 5) dx = x³ + x² + 5x + C. Die Konstante C erscheint, weil die Ableitung jeder Konstanten null ist, sodass die ursprüngliche Funktion jede beliebige Konstante enthalten haben könnte.
Dieser Integralrechner verarbeitet Polynome beliebigen Grades. Sie geben die Koeffizienten von der höchsten Potenz von x bis zum konstanten Glied ein, und er wendet die Potenzregel auf jedes Glied an und zeigt die vollständige Stammfunktion. Alle Berechnungen erfolgen lokal in Ihrem Browser.Wie es funktioniert
Die Potenzregel für die Integration besagt, dass das Integral für jedes Glied c·xⁿ (wobei n ≠ −1) gleich c·xⁿ⁺¹ / (n+1) + C ist. Der Rechner verarbeitet jeden Koeffizienten nacheinander. Wenn Sie die Koeffizienten [a, b, c, d] eingeben, die das Polynom ax³ + bx² + cx + d darstellen, lautet das Ergebnis a·x⁴/4 + b·x³/3 + c·x²/2 + d·x + C.
Die Integrationskonstante C wird immer angehängt, weil unbestimmte Integrale eine Familie von Funktionen darstellen, nicht eine einzelne Funktion. In angewandten Problemen wird C durch eine Anfangsbedingung oder einen Randwert bestimmt. Der Rechner zeigt die allgemeine Stammfunktion mit C an und vereinfacht außerdem gebrochene Koeffizienten, wenn möglich (zum Beispiel wird 6x⁴/4 zu 3x⁴/2).Verwendung
- Geben Sie die Koeffizienten vom höchsten Grad bis zur Konstanten ein, durch Kommas getrennt.
- Geben Sie zum Beispiel 3,0,2,1 für 3x³ + 0x² + 2x + 1 ein.
- Klicken Sie auf Berechnen, um das unbestimmte Integral zu erhalten.
- Überprüfen Sie die schrittweise Integration jedes Glieds.
- Beachten Sie die Integrationskonstante C im Ergebnis.
Häufige Fragen
Was ist die Integrationskonstante C?
Die Konstante C stellt die Tatsache dar, dass unendlich viele Funktionen dieselbe Ableitung haben. Da die Ableitung jeder Konstanten null ist, erzeugt das Hinzufügen einer Konstanten zu einer Stammfunktion eine weitere gültige Stammfunktion. Bei realen Problemen wird C durch eine Anfangsbedingung bestimmt (wie die Position zur Zeit null).
Kann dieser Rechner trigonometrische oder exponentielle Funktionen verarbeiten?
Nein. Dieser Rechner verwendet die Potenzregel für Polynome, die nur auf Glieder der Form c·xⁿ angewendet wird. Trigonometrische Funktionen (∫sin x dx = −cos x + C), Exponentialfunktionen (∫e^x dx = e^x + C) und 1/x (∫(1/x) dx = ln|x| + C) erfordern andere Regeln, die dieses Werkzeug nicht abdeckt.
Was ist der Unterschied zwischen unbestimmten und bestimmten Integralen?
Ein unbestimmtes Integral ergibt eine allgemeine Funktion (die Stammfunktion) mit einem +C. Ein bestimmtes Integral ∫[a,b] f(x)dx wertet die Stammfunktion an zwei Grenzen aus und subtrahiert, was eine Zahl ergibt, die die vorzeichenbehaftete Fläche unter der Kurve zwischen x=a und x=b darstellt. Dieser Rechner berechnet das unbestimmte Integral.
Warum funktioniert die Integration von x⁻¹ nicht mit der Potenzregel?
Die Potenzregel liefert xⁿ⁺¹/(n+1), aber wenn n = −1 ist, wird der Nenner null, was undefiniert ist. Stattdessen gilt ∫(1/x) dx = ln|x| + C. Dies ist ein Sonderfall, der logarithmische Integration erfordert, die dieser polynombasierte Rechner nicht verarbeitet.
Tipps & Ratschläge
Behalten Sie beim Integrieren von Polynomen jedes Glied separat im Auge und addieren Sie immer 1 zum Exponenten, während Sie den Koeffizienten durch den neuen Exponenten teilen. Ein häufiger Fehler ist das Vergessen der Division: ∫x² dx ist x³/3, nicht x³. Ein weiterer häufiger Fehler ist das Vergessen der Integrationskonstante C bei unbestimmten Integralen. Wenn Sie eine bestimmte Integralaufgabe haben, finden Sie zuerst die Stammfunktion mit diesem Werkzeug, setzen Sie dann die obere und untere Grenze ein und subtrahieren Sie: F(b) − F(a). Die Konstante C fällt bei bestimmten Integralen weg, sodass Sie sie dort nicht benötigen. Zur Kontrolle Ihrer Arbeit differenzieren Sie das Ergebnis: Sie sollten das ursprüngliche Polynom zurückerhalten. Wenn die Ableitung nicht übereinstimmt, überprüfen Sie jedes Glied. In der Physik wandelt Integration Raten in Gesamtgrößen um: Integrieren Sie die Geschwindigkeit, um die Verschiebung zu erhalten, integrieren Sie die Leistung, um die Energie zu erhalten, integrieren Sie die Kraft (nach dem Weg), um die Arbeit zu erhalten.
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