🌙 萬有引力計算機

宇宙中任何兩個有質量的物體都會互相吸引，這就是萬有引力。牛頓的萬有引力定律指出，兩質點之間的引力為 F = G·m₁·m₂/r²，其中 G = 6.674×10⁻¹¹ N·m²/kg² 是重力常數，m₁ 與 m₂ 是兩物體的質量，r 是兩者質心之間的距離。從蘋果落地、玉山上的登山客，到繞行地球的福衛七號衛星，背後都是同一條公式——只是質量與距離把尺度放大了。

平方反比是這條定律最關鍵的性質：距離加倍，引力只剩四分之一。正因如此，太陽的質量雖然是地球的 33 萬倍，對你的引力卻小到可以忽略——它同時也遠在約兩萬三千五百個地球半徑之外，平方反比把這個差距徹底拉開。想換算 N、kgf、lbf 之間的關係，可以搭配 力的單位換算工具 一起使用。

計算流程是：把兩個質量相乘、除以距離平方（先換算成公尺），再乘上重力常數 G。因為 G 小到只有 6.674×10⁻¹¹，日常物體之間的引力根本感覺不到；至少要有一端是天文等級的質量，結果才看得出數字。

地球上的等效重量（引力除以 9.80665 m/s²）把抽象的牛頓換成熟悉的公斤力，達因則方便對照教科書題目。想接著分析彈簧的恢復力，可參考 虎克定律計算機。

1. 輸入第一個物體的質量，並選擇單位（kg、g、公噸或地球質量）。
2. 輸入第二個物體的質量與單位。
3. 輸入兩物體質心之間的距離與單位（m、km、英里或地球半徑）。
4. 點擊「計算」，查看以牛頓、公斤力與達因表示的萬有引力。
5. 選用「地球上等效重量」輸出，與日常直覺互相驗證。

為什麼一般物體之間的引力小到感覺不到？

因為重力常數 G 小到只有 6.674×10⁻¹¹。只有當至少一端是行星等級的質量，力才會大到有感。兩顆 1 kg 的物體相距 1 m，引力約 6.67×10⁻¹¹ N——永遠不可能察覺。

距離的影響真的那麼大嗎？

這是平方反比定律：距離加倍、引力剩四分之一；距離三倍、剩九分之一。所以站在玉山山頂體重幾乎不變，但從地表到 ISS 軌道（質心距離從 6,371 km 變成約 6,700 km），體重會掉約 10%。

太陽對我的引力有意義嗎？

沒有。太陽離得太遠，對你的引力約 0.42 N——大約是一個小蘋果的重量——儘管它的質量是地球的 33 萬倍。引力觸及的範圍雖大，平方反比永遠讓「近的質量」勝出。

質量與重量差在哪裡？

質量是物質的量，單位是公斤，無論到哪裡都不變；重量是質量所受的重力 F = mg，會隨當地重力場改變。這台計算機算的是兩物體之間的引力，除以當地的 g 就得到等效重量。

這條公式能用在軌道力學嗎？

圓形軌道可以：引力等於向心力 m·v²/r，兩式合併就得到軌道速度。橢圓軌道需要克卜勒定律，但每個軌道問題都從同一條萬有引力方程出發。

為什麼結果裡要有達因？

達因（1 g·cm/s²）是 CGS 制的力單位，很多物理教科書與舊文獻都在使用。多給一個單位，和課本例題或實驗手冊對答案時就不會因為單位換算而出錯。

距離一定要用質心到質心的距離，不能用表面間隙——站在地球表面的人，相關的距離是整個地球半徑，而不是你的海拔。公式假設質點模型；對球對稱的大型天體，只要 r 量到質心就仍然適用（行星都符合這個近似）。重力常數目前只精確到大約五位有效數字，結果的第五位之後不必當真。在原子尺度，重力比電磁力弱到無法想像，所以化學與電子學基本上不受它支配。想知道同一物體在別的星球上有多重，把該星球質量與半徑當成第二個物體輸入即可。算物體下墜的加速度時，可再搭配 加速度計算機 交叉驗證。