📐 Quadratischer Gleichungsrechner
Lösen Sie jede quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Geben Sie die Koeffizienten a, b und c ein, um beide Lösungen zu erhalten, einschließlich reeller und komplexer Lösungen, mit vollständiger Diskriminantenanalyse.
Was ist dieses Werkzeug?
Eine quadratische Gleichung ist jede Gleichung, die in der Form ax² + bx + c = 0 geschrieben werden kann, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a nicht null ist. Quadratische Gleichungen erscheinen in der gesamten Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaft und Wirtschaft. Die Flugbahn eines geworfenen Balls, die Form einer Satellitenschüssel, die Gewinnschwelle in einem Geschäftsmodell und die Flugbahn eines Geschosses basieren alle auf quadratischen Funktionen.
Die Lösungen einer quadratischen Gleichung werden als Nullstellen bezeichnet, und jede quadratische Gleichung hat genau zwei Nullstellen (obwohl diese identisch oder komplex sein können). Die leistungsstärkste Methode zu ihrer Bestimmung ist die quadratische Lösungsformel: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Der Ausdruck unter der Quadratwurzel, b² − 4ac, wird als Diskriminante bezeichnet und verrät Ihnen, welche Art von Nullstellen Sie erwarten können, bevor Sie diese überhaupt berechnen.
Dieser quadratische Gleichungsrechner ermöglicht es Ihnen, die Koeffizienten a, b und c einzugeben und sofort beide Nullstellen zu erhalten. Ist die Diskriminante positiv, erhalten Sie zwei verschiedene reelle Nullstellen. Ist sie null, erhalten Sie eine doppelte reelle Nullstelle. Ist sie negativ, sind die Nullstellen komplexe Zahlen. Das Werkzeug zeigt jeden Berechnungsschritt, sodass Sie Schritt für Schritt folgen und Ihre Arbeit überprüfen können.Wie es funktioniert
Die quadratische Lösungsformel wird durch quadratische Ergänzung der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0 hergeleitet. Das Ergebnis ist x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Zuerst berechnet der Rechner die Diskriminante Δ = b² − 4ac. Ist Δ positiv, wird die Quadratwurzel gezogen und sowohl der Plus- als auch der Minuszweig ausgewertet, um zwei reelle Nullstellen zu erhalten. Ist Δ null, ergeben beide Zweige denselben Wert x = −b / 2a, was dem Scheitelpunkt der Parabel auf der x-Achse entspricht. Ist Δ negativ, erzeugt die Quadratwurzel einer negativen Zahl einen imaginären Anteil, und die Nullstellen lauten x = −b / 2a ± Δ_abs·i / 2a, wobei i die imaginäre Einheit ist.
Der Rechner bestimmt außerdem den Scheitelpunkt der Parabel y = ax² + bx + c, der bei x = −b / 2a liegt, und ob die Parabel nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet ist. Dies vermittelt ein vollständiges Bild der Gleichung und ihres Graphen.Verwendung
- Geben Sie den Koeffizienten a ein (darf nicht null sein).
- Geben Sie den Koeffizienten b ein.
- Geben Sie den Koeffizienten c ein.
- Klicken Sie auf Berechnen, um beide Nullstellen und die Diskriminante zu sehen.
- Prüfen Sie, ob die Nullstellen reell, doppelt oder komplex sind.
Häufige Fragen
Was passiert, wenn a null ist?
Wenn a gleich null ist, ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, sondern linear (bx + c = 0) und hat eine einzige Nullstelle x = −c / b. Der Rechner setzt voraus, dass a ungleich null ist; wenn Sie null eingeben, werden Sie aufgefordert, stattdessen einen linearen Gleichungslöser zu verwenden.
Was sind komplexe Nullstellen?
Wenn die Diskriminante b² − 4ac negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen. Stattdessen sind die Nullstellen komplexe Zahlen der Form p + qi, wobei i die imaginäre Einheit (√−1) ist. Komplexe Nullstellen treten immer als konjugierte Paare auf und zeigen an, dass die Parabel die x-Achse nicht schneidet.
Kann dieser Rechner das Quadrat faktorisieren?
Faktorisierung ist eine separate Methode, die funktioniert, wenn die Nullstellen rationale Zahlen sind. Dieser Rechner verwendet die Lösungsformel, die für alle quadratischen Gleichungen funktioniert, unabhängig davon, ob die Nullstellen rational, irrational oder komplex sind. Wenn Sie ausdrücklich faktorisieren müssen, verwenden Sie den Faktorisierungsrechner.
Was ist die Diskriminante?
Die Diskriminante Δ = b² − 4ac verrät Ihnen die Art der Nullstellen, ohne diese zu berechnen. Positives Δ bedeutet zwei verschiedene reelle Nullstellen. Null Δ bedeutet eine doppelte reelle Nullstelle (die Parabel berührt die x-Achse in genau einem Punkt). Negatives Δ bedeutet zwei konjugiert komplexe Nullstellen (die Parabel schneidet die x-Achse nicht).
Tipps & Ratschläge
Wenn Sie quadratische Gleichungen von Hand lösen, beginnen Sie immer mit der Berechnung der Diskriminante b² − 4ac, bevor Sie die Werte in die Lösungsformel einsetzen. Ist die Diskriminante eine perfekte Quadratzahl (wie 25 oder 144), sind die Nullstellen rational und Sie hätten stattdessen faktorisieren können. Ist die Diskriminante null, müssen Sie nur einen Wert berechnen (−b / 2a), der beide Nullstellen darstellt. Bei Physikaufgaben sollten Sie darauf achten, welche Nullstelle physikalisch sinnvoll ist: Bei Wurfbewegungen gibt die positive Nullstelle meist die Landezeit, während die negative verworfen wird. Bei Optimierungsproblemen liefert x = −b / 2a die Lage des Scheitelpunkts, der entweder das Minimum (a > 0) oder das Maximum (a < 0) der quadratischen Funktion ist. Überprüfen Sie Ihre Nullstellen immer, indem Sie sie in die ursprüngliche Gleichung zurückeinsetzen: ax² + bx + c sollte (innerhalb der Rundungstoleranz) für jede Nullstelle null ergeben.
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