🧭 Calculadora de Fatoração de Polinômios
Fatore expressões quadráticas da forma ax² + bx + c em fatores lineares. Insira os coeficientes para encontrar as raízes e a forma fatorada completa.
O que é esta ferramenta?
Fatorar um polinômio significa reescrevê-lo como um produto de polinômios mais simples. Por exemplo, x² − 5x + 6 fatora-se em (x − 2)(x − 3). A fatoração é uma habilidade algébrica fundamental que revela as raízes de uma equação (onde o polinômio é zero), simplifica expressões racionais e desbloqueia técnicas para resolver inequações e esboçar gráficos de funções.
O polinômio mais comumente fatorado é o quadrático ax² + bx + c. Se o discriminante b² − 4ac for um quadrado perfeito, o quadrático fatora-se ordenadamente em dois termos lineares com coeficientes racionais. Se o discriminante for positivo, mas não um quadrado perfeito, os fatores envolvem números irracionais. Se o discriminante for negativo, o quadrático não fatora sobre os números reais.
Esta calculadora de fatoração lida com expressões quadráticas. Você insere os coeficientes a, b e c, e ela encontra as raízes usando a fórmula quadrática, depois escreve a forma fatorada como a·(x − r₁)(x − r₂) onde r₁ e r₂ são as raízes. Se as raízes forem complexas, ela informa que a expressão é irredutível sobre os reais. Toda a computação é executada localmente em seu navegador.Como funciona
A calculadora primeiro calcula o discriminante Δ = b² − 4ac. Se Δ ≥ 0, ela encontra as raízes r₁ = (−b + √Δ) / 2a e r₂ = (−b − √Δ) / 2a. A forma fatorada é então a·(x − r₁)(x − r₂). Quando a = 1, a forma fatorada é simplesmente (x − r₁)(x − r₂).
Para o caso especial em que o discriminante é um quadrado perfeito, as raízes são racionais e a forma fatorada tem coeficientes inteiros ou fracionários. Por exemplo, x² − 5x + 6 tem discriminante 25 − 24 = 1, raízes 3 e 2, e fatora-se como (x − 3)(x − 2). Quando o discriminante é negativo, a calculadora relata que o polinômio é irredutível sobre os números reais e exibe as raízes complexas para referência.Como usar
- Insira o coeficiente a (não deve ser zero).
- Insira o coeficiente b.
- Insira o coeficiente c.
- Clique em Calcular para ver as raízes e a forma fatorada.
- Verifique se o polinômio fatora sobre os números reais.
Perguntas Frequentes
Quando um quadrático não pode ser fatorado?
Um quadrático ax² + bx + c não pode ser fatorado em fatores lineares reais quando seu discriminante b² − 4ac é negativo. Neste caso, as raízes são números complexos. O polinômio é chamado de irredutível sobre os reais. Por exemplo, x² + 1 tem discriminante −4 e não fatora sobre os reais.
Qual é a diferença entre fatoração e fórmula quadrática?
São dois caminhos para o mesmo destino. A fórmula quadrática lhe dá as raízes diretamente; a fatoração reescreve o polinômio como um produto de termos lineares. A fatoração é mais útil quando você precisa da própria forma fatorada (para simplificar expressões racionais ou resolver inequações), enquanto a fórmula quadrática é mais universal e funciona mesmo quando a fatoração é difícil.
E se o coeficiente líder a não for 1?
Quando a ≠ 1, a forma fatorada inclui a como um multiplicador líder: a·(x − r₁)(x − r₂). Por exemplo, 2x² − 6x + 4 tem raízes 1 e 2, e fatora-se como 2(x − 1)(x − 2). Alguns livros didáticos fatoram primeiro o MDC: 2x² − 6x + 4 = 2(x² − 3x + 2) = 2(x − 1)(x − 2).
Esta calculadora pode fatorar polinômios de grau superior?
Esta calculadora lida com quadráticos (grau 2). Para cúbicos e superiores, a fatoração exige técnicas mais avançadas como o teorema da raiz racional, divisão sintética ou agrupamento. No entanto, uma vez que você encontra uma raiz racional r de um cúbico, você pode dividir (x − r) para obter um quadrático, que então pode fatorar usando esta ferramenta.
Dicas
Antes de usar a calculadora de fatoração, tente o método AC à mão: multiplique a e c, depois procure dois números que multiplicados deem ac e somados deem b. Se tais números existirem, o quadrático fatora sobre os inteiros. Por exemplo, para 6x² + 7x + 2, ac = 12 e você precisa de dois números que multiplicados deem 12 e somados deem 7: esses são 3 e 4. Reescreva 7x como 3x + 4x, fatore por agrupamento e você obtém (2x + 1)(3x + 2). Sempre verifique sua forma fatorada multiplicando-a de volta: (x − 3)(x − 2) = x² − 5x + 6. Se você obtiver o polinômio original, sua fatoração está correta. Ao resolver inequações, a forma fatorada informa o sinal do polinômio em cada intervalo: o polinômio muda de sinal em cada raiz simples, então teste um ponto em cada intervalo para determinar onde o polinômio é positivo ou negativo.
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