📈 t檢定計算機

t 檢定是一種統計假設檢定，用來判斷樣本平均值是否與已知或假設的數值有顯著差異，或兩個獨立樣本的平均值是否不同。檢定產生的 t 統計量在虛無假設下服從 Student t 分配。與z 檢定不同的是，t 檢定不需要事先知道母體標準差，因此在真實研究的有限資料中更為實用。研究人員常將它搭配p 值計算機來報告顯著性，並搭配信賴區間計算機來呈現估計值的不確定性。

本工具處理兩種主要情境。單樣本 t 檢定用來比較單一樣本與參考值（μ₀）——例如檢驗某批燈泡的壽命是否符合廠商宣稱。雙樣本（Welch）t 檢定比較兩個變異數可能不等的獨立群體，例如兩種教學方法的考試成績。相較於 Student 合併 t 檢定，Welch 版本更穩健，建議作為預設選擇。執行檢定前可先用標準差計算機從原始資料求得 s。

兩側陰影的尾部代表拒絕域。若計算出的 t 統計量超出臨界值 ±t*，我們就在所選顯著水準（通常 α = 0.05，雙尾）下拒絕虛無假設 H₀；否則不拒絕 H₀，結論為沒有足夠證據顯示有差異。

本計算機採用單樣本與 Welch 雙樣本 t 檢定的標準公式。

單樣本 t 檢定

其中 x̄ 為樣本平均值，μ₀ 為假設的母體平均值，s 為樣本標準差，n 為樣本數。t 的絕對值越大，代表反對虛無假設的證據越強。

雙樣本 Welch t 檢定

Welch 公式不假設兩組變異數相等，因此是兩個獨立樣本的預設選擇。自由度通常是分數，在查表時會四捨五入。

p 值與決策

雙尾 p 值由 t 分配近似求得。df ≤ 30 時使用內建的臨界值表；df 較大時則以標準常態分配近似。若 |t| > α = 0.05 的臨界值，結果達統計顯著，我們拒絕 H₀；否則不拒絕 H₀。

最後一列（∞）對應標準常態（z）分配。

因為實務上幾乎不會知道母體標準差，t 檢定是較安全的預設選擇。當 n 超過 30 後，兩者的結果幾乎一致。

1. 選擇檢定類型 — 在頂端下拉選單選擇單樣本或雙樣本（Welch）模式。
2. 輸入樣本資料 — 單樣本請輸入樣本平均值（x̄）、假設平均值（μ₀）、標準差（s）與樣本數（n）；雙樣本則輸入兩組樣本的平均值、標準差與樣本數。
3. 點擊計算 — 工具會計算 t 統計量、自由度、近似雙尾 p 值與 α = 0.05 的臨界 t 值。
4. 閱讀結論 — 結果會說明在 0.05 顯著水準下應拒絕或不拒絕虛無假設 H₀。
5. 結合情境解讀 — 將 p 值與您選擇的 α 比較，並考慮效應量與信賴區間，再做實際結論。

什麼時候該用 t 檢定而不是 z 檢定？

當母體標準差未知而必須從樣本估計時，應使用 t 檢定。z 檢定要求事先知道母體 σ，這在實務上很少見。隨著樣本數增大，t 分配會趨近常態分配，因此大樣本下兩者的結果幾乎相同。對小樣本（n < 30）而言，t 檢定才是正確的選擇。

Student t 檢定與 Welch t 檢定有何不同？

Student（合併）雙樣本 t 檢定假設兩組樣本來自變異數相等的母體；Welch t 檢定則不做此假設，並相應調整自由度。當兩組樣本變異數或樣本數不同時，Welch 版本更穩健，目前建議將它作為兩個獨立樣本檢定的預設選擇。

什麼是 p 值？

p 值是指在虛無假設為真的前提下，觀察到「至少與計算值一樣極端」的 t 統計量的機率。p 個值很小（通常低於 0.05）表示在 H₀ 下這組資料不太可能出現，因此我們拒絕 H₀。p 值並不衡量假設為真的機率。

「不拒絕 H₀」是什麼意思？

這表示證據不足以斷定差異存在。這並不等於證明 H₀ 為真——可能只是研究缺乏統計檢定力。更大的樣本、更大的效應量或更寬鬆的顯著水準都可能改變結論。

本計算機的 p 值有多準確？

p 值是透過 df 1–30 的臨界值查表與較大 df 的常態近似求得。對課堂練習與一般判讀已足夠，但若用於發表級研究，請使用能精確計算累積分配函數的專業統計軟體（R、SPSS、SciPy）。

可以用單尾檢定嗎？

本工具預設輸出雙尾 p 值與臨界值。只有在收集資料前已有強烈理由預期差異只朝單一方向時，才適合使用單尾檢定。如有需要，可將雙尾 p 值除以 2 得到單尾 p 值。

在信賴檢定結果之前，請務必檢查 t 檢定的假設：資料應近似常態分配（樣本數越小越重要），且觀測值必須獨立。當樣本數超過 30 時，中央極限定理使 t 檢定對非常態性相當穩健。對於配對或成對資料（同一受試者的前後測），應改用配對 t 檢定——本工具不支援配對設計。顯著的 p 值只表示差異存在，不代表差異的大小或實際重要性；請同時報告效應量與信賴區間。