🔢 數列計算機
辨識並延伸等差數列與等比數列。輸入前幾項以找出公差或公比、後續項、第 n 項與前 n 項之和。
這是什麼工具？
數列是一串遵循某種規律的有序數字列表。最常見的兩類是等差數列（每一項皆由前一項加上一個固定數字——即公差 d——而得）與等比數列（每一項皆由前一項乘上一個固定數字——即公比 r——而得）。
等差數列出現在單利計算、等間距排程、線性折舊與階梯式定價中。數列 3、7、11、15、19 為等差數列，d = 4。等比數列出現在複利、人口成長、放射性衰變與電腦科學演算法中。數列 2、6、18、54、162 為等比數列，r = 3。
這個數列計算機能偵測你的數列是等差還是等比、找出公差或公比，並計算後續數項。它也提供第 n 項的一般式以及前 n 項之和。所有運算都在你的瀏覽器中本機執行。運作原理
對首項為 a₁、公差為 d 的等差數列，第 n 項為 aₙ = a₁ + (n−1)d，前 n 項之和為 Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n−1)d)。計算機會檢查相鄰項之間的差是否全部相同；若是，則數列為等差。
對首項為 a₁、公比為 r 的等比數列，第 n 項為 aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹，前 n 項之和在 r ≠ 1 時為 Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) / (r − 1)。計算機會檢查相鄰項之間的比值是否全部相同；若是，則數列為等比。
若兩種規律皆不符合，計算機會回報該數列既非等差也非等比，並建議尋找其他規律，例如費氏數列、二次數列或交替數列。使用方法
- 輸入數列的至少 3 項，以逗號分隔。
- 例如輸入 2, 6, 18, 54 代表一等比數列。
- 點選計算以辨識規律。
- 查看後續 5 項、第 n 項公式與前 n 項之和。
- 嘗試不同的數列以比較等差與等比規律。
常見問題
如果我的數列既非等差也非等比怎麼辦？
有些數列遵循其他規律：費氏數列（每一項為前兩項之和）、二次數列（二階差分為常數）或交替數列。計算機會回報無法將該數列辨識為等差或等比。請嘗試輸入更多項，或自行尋找不同的規律。
等差與等比有什麼不同？
在等差數列中，你加上一個固定數字以得到下一項（2、5、8、11，d = 3）。在等比數列中，你乘上一個固定數字（2、6、18、54，r = 3）。等差呈線性成長；等比呈指數成長。在項數夠多時，r > 1 的等比數列會很快超越等差數列。
我需要輸入多少項？
至少需要 3 項才能偵測規律。輸入更多項可提升準確度：3 項即可唯一決定一個等差或等比數列，但 4 項以上能幫助確認規律的一致性，而非巧合。
求和公式用來做什麼？
前 n 項之和 Sₙ 給出前 n 項的總和。對等差數列，它可用於計算固定遞增付款計畫的總付款額。對等比數列，它用於複利（加總各期報酬）、年金與貸款攤銷。等比求和公式是計算未來一系列現金流現值的基礎。
技巧與建議
在辨識數列規律時，務必同時檢查等差（差為常數）與等比（比值為常數）兩種可能。對等差數列，將相鄰項相減：若所有差都相同，d 即可確認。對等比數列，將相鄰項相除：若所有比值都相同，r 即可確認。請留意同時為等差與等比的數列：常數數列如 5、5、5、5 嚴格來說兩者皆是（d = 0 且 r = 1）。在現實應用中，等差數列模擬線性成長（單利、固定金額儲蓄計畫），而等比數列模擬指數成長（複利、人口模型、病毒傳播）。當等比數列的 r 介於 −1 與 1 之間時，無窮級數會收斂到 a₁ / (1−r)，這是財務現值計算的基礎。務必透過檢查預測的下一項是否符合規律來驗證你的結果。
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