🔢 数列计算器
辨识并延伸等差数列与等比数列。输入前几项以找出公差或公比、后续项、第 n 项与前 n 项之和。
这是什么工具？
数列是一串遵循某种规律的有序数字列表。最常见的两类是等差数列（每一项皆由前一项加上一个固定数字——即公差 d——而得）与等比数列（每一项皆由前一项乘上一个固定数字——即公比 r——而得）。
等差数列出现在单利计算、等间距排程、线性折旧与阶梯式定价中。数列 3、7、11、15、19 为等差数列，d = 4。等比数列出现在复利、人口增长、放射性衰变与电脑科学算法中。数列 2、6、18、54、162 为等比数列，r = 3。
这个数列计算器能检测你的数列是等差还是等比、找出公差或公比，并计算后续数项。它也提供第 n 项的一般式以及前 n 项之和。所有运算都在你的浏览器中本地执行。运作原理
对首项为 a₁、公差为 d 的等差数列，第 n 项为 aₙ = a₁ + (n−1)d，前 n 项之和为 Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n−1)d)。计算器会检查相邻项之间的差是否全部相同；若是，则数列为等差。
对首项为 a₁、公比为 r 的等比数列，第 n 项为 aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹，前 n 项之和在 r ≠ 1 时为 Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) / (r − 1)。计算器会检查相邻项之间的比值是否全部相同；若是，则数列为等比。
若两种规律皆不符合，计算器会回报该数列既非等差也非等比，并建议寻找其他规律，例如斐波那契数列、二次数列或交替数列。使用方法
- 输入数列的至少 3 项，以逗号分隔。
- 例如输入 2, 6, 18, 54 代表一等比数列。
- 点击计算以辨识规律。
- 查看后续 5 项、第 n 项公式与前 n 项之和。
- 尝试不同的数列以比较等差与等比规律。
常见问题
如果我的数列既非等差也非等比怎么办？
有些数列遵循其他规律：斐波那契数列（每一项为前两项之和）、二次数列（二阶差分为常数）或交替数列。计算器会回报无法将该数列辨识为等差或等比。请尝试输入更多项，或自行寻找不同的规律。
等差与等比有什么不同？
在等差数列中，你加上一个固定数字以得到下一项（2、5、8、11，d = 3）。在等比数列中，你乘上一个固定数字（2、6、18、54，r = 3）。等差呈线性增长；等比呈指数增长。在项数够多时，r > 1 的等比数列会很快超越等差数列。
我需要输入多少项？
至少需要 3 项才能检测规律。输入更多项可提升准确度：3 项即可唯一决定一个等差或等比数列，但 4 项以上能帮助确认规律的一致性，而非巧合。
求和公式用来做什么？
前 n 项之和 Sₙ 给出前 n 项的总和。对等差数列，它可用于计算固定递增付款计划的总付款额。对等比数列，它用于复利（加总各期回报）、年金与贷款摊销。等比求和公式是计算未来一系列现金流现值的基础。
技巧与建议
在辨识数列规律时，务必同时检查等差（差为常数）与等比（比值为常数）两种可能。对等差数列，将相邻项相减：若所有差都相同，d 即可确认。对等比数列，将相邻项相除：若所有比值都相同，r 即可确认。请留意同时为等差与等比的数列：常数数列如 5、5、5、5 严格来说两者皆是（d = 0 且 r = 1）。在现实应用中，等差数列模拟线性增长（单利、固定金额储蓄计划），而等比数列模拟指数增长（复利、人口模型、病毒传播）。当等比数列的 r 介于 −1 与 1 之间时，无穷级数会收敛到 a₁ / (1−r)，这是财务现值计算的基础。务必通过检查预测的下一项是否符合规律来验证你的结果。
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