d/dx 導數計算機
求任意多項式的導數。從最高次到常數項輸入係數，即時取得微分結果並顯示每一步。
這是什麼工具？
導數衡量函數隨輸入變化的改變量。它是數學中最有力的概念之一，捕捉了瞬時變化率的概念。位置函數的導數給出速度；速度的導數給出加速度；成本函數的導數給出邊際成本。在機器學習中，導數驅動梯度下降；在物理中，它們描述運動與變化；在經濟學中，它們建立邊際效應的模型。
對多項式而言，微分遵循冪次法則：d/dx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹。每一項獨立微分。例如 d/dx [3x³ + 2x² + 5x + 7] = 9x² + 4x + 5。常數項的微分永遠為零，因為常數不會變化。線性項 cx 變為 c（因為 cx¹ 微分為 1·cx⁰ = c）。
這個導數計算機可處理任意次數的多項式。你從 x 的最高次到常數項依序輸入係數，它會對每一項套用冪次法則，顯示完整的導數。所有運算都在你的瀏覽器中本機執行。運作原理
微分的冪次法則指出，對任意項 c·xⁿ（其中 n > 0），導數為 c·n·xⁿ⁻¹。計算機依序處理每個係數。若你輸入係數 [a, b, c, d] 代表 ax³ + bx² + cx + d，結果為 3a·x² + 2b·x + c。常數 d 微分為零並從結果中消失。
計算機也能處理分數與負數係數。對 6x⁴ 這一項，導數為 24x³（6 乘以 4，指數減 1）。對 0.5x²，導數為 x（0.5 乘以 2，指數減 1）。結果永遠是比輸入低一次的多項式，因為每一項的指數都減少了 1。使用方法
- 從最高次到常數項依序輸入係數，以逗號分隔。
- 例如輸入 3,2,5,7 代表 3x³ + 2x² + 5x + 7。
- 點選計算以取得導數。
- 檢視每一項的逐步微分過程。
- 請留意常數項會從結果中消失。
常見問題
常數項會怎樣？
任何常數的導數都是零。這是因為常數不會變化，所以其變化率為零。當你對 3x² + 5x + 7 微分時，常數 7 產生 0 並從結果中消失。這就是為什麼微分會遺失資訊：你無法僅從導數還原原本的常數。
這個計算機能處理三角函數或指數函數嗎？
不能。本計算機使用多項式冪次法則，僅適用於 c·xⁿ 形式的項。三角函數（d/dx sin x = cos x）、指數（d/dx e^x = e^x）以及對數（d/dx ln x = 1/x）需要不同的法則，本工具不涵蓋。
導數與積分有什麼不同？
微分與積分互為反運算。微分將函數拆解為變化率，而積分則從變化率建構出函數。若你對函數微分再對結果積分，會得到原函數加上一個常數 C。兩者共同構成微積分基本定理。
導數在幾何上代表什麼？
函數在某一點的導數給出該點處切線的斜率。當導數為正時，函數遞增；為負時函數遞減；為零時，函數有水平切線（局部極大值、極小值或反曲點）。
技巧與建議
對多項式微分時，對每一項套用冪次法則：將係數乘以指數，再將指數減 1。常見的錯誤是只減指數而未乘：d/dx [x³] = 3x²，而不是 x²。另一個常見錯誤是忘記常數會消失：許多學生會將常數項留在導數中。驗算時可將結果積分：應得到原本的多項式加上一個任意常數 C。在最佳化問題中，將導數設為零以找出臨界點（函數可能有極大值或極小值之處）。二階導數可告訴你臨界點是極大值（二階導數為負）還是極小值（二階導數為正）。在機器學習中，損失函數對每個參數的導數告訴你如何調整該參數以降低損失，這正是梯度下降的核心。
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